Контрольная работа по математике №2.6 Вариант № 6 задание №1:

Записать общее уравнение прямой, проходящей ч/з (.) M(2, 4) перпендикулярно прямой

3x+4y+5 =0.

Решение:

Уравнение пучка прямых, проходящих ч/з (.) M(2, 4):

y - y= k(x - x) y – 4 = k( x – 2).

Запиешм ур – е 3x+4y+5 =0 как ур – е с угловым коэфф – м: y =- 3/4x – 5/4, k = -3/4.

Условие перпендик-ти 2-х прямых: k*k= -1, откуда k= -1/k = 4/3, подставим k в

ур-е пучка: у – 4= 4/3(x –2) или 3y – 4x –4 =0 или 4x – 3y +4 =0.

Ответ: 4x – 3y +4 =0.

Задание №2:

Составить ур – я прямых, проходящих ч/з (.) Р(3, 5)на одинаковых расстояниях от точек

А(-7, 3) и В(11, -15). В ответ ввести ур – е той прямой, кот. отсекает от осей координат треугольник, расп –й в 1-й четверти.

Решение:

Уравнение пучка прямых, проходящих ч/з (.)Р(3, 5): y –5 = k(x – 3).Условию задачи бу – дут соответствовать а) прямая, параллельная пр-й АВ; б) прямая, проходящая ч/з середину АВ.

Найдём АВ: = = или: x + y + 10 = 0, k= -1.

a) Пр-я, параллельная АВ(k = k): y –5 = - 1(x – 3) x + y – 8 = 0.

Координаты середины АВ: x = =( 11 – 7)/2= 2, y = = (-15+3)/2= - 6: (2, -6)

б) прямая, проходящая ч/з середину АВ: = = :

11x –y –28 =0.

Прямая, кот. отсекает от осей координат треугольник, расп –й в 1-й четверти – это случай а), т.к удовлетворяет условию: при x = 0 - y > 0 и , при y = 0 - x > 0.

Ответ: x + y – 8 = 0.

Задание №3:

Составить общее ур – е плоскости, проходящей ч/з точки M(4, 2, 1) и M(3, 3, 2), парал-

лельно вектору АВ = (4, -3, 2).

Решение:

Найдём принадлежащий искомой плоскости вектор MM= (3 – 4, 3 – 2, 2 – 1) = ( - 1, 1,1).

В качестве нормального вектора N искомой плоскости возьмём вектор, перпендикулярный

вектору MMи вектору АВ. За N примем векторное произведение

N = MM*АВ = = 5i +6j – k.

Воспользуемся ур – ем плос-ти, прох – ей ч/з данную(.), возьмём M(3, 3, 2), и -ой

вектору N: A(x –x) + B(y – y) + C(z – z) = 0; N = Ai + Bj + Ck:

5(x –3) + 6(y – 3) – (z – 2), или 5x + 6y - z –31 = 0.

Ответ: 5x + 6y - z –31 = 0.

Задание №4:

Найти координаты проекции начала координат на прямую

= = .

Решение:

Из условия: l = 4, m = 3, n = - 2; x= 5, y= 1, z= -3.

a) Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости: A/l = B/m = C/n, полагая,

что A = l, B = m, C = n ,D = 0, составим ур – е плоскости, проходящей ч/з начало координат и перпендик. данной прямой:

4x = 3y – 2z = 0;

b) Найдём (.) пересечения этой плоскости и данной прямой, т.е. проекцию

начала координат на прямую.

Параметрические ур – я данной прямой:

x = l*t + x ; x = 4t + 5;

y = l*m +y ; y = 3t + 1;

z = l*n +z ; z = - 2t – 3;

Решая эти ур - я совместно с 4x = 3y – 2z = 0, находим параметр t:

4(4t +5) + 3(3t + 1) – 2(2t – 3), откуда t = - 1;

Подставляя t в параметрические ур – я, получим:

x = 1;

y = - 2;

z = - 1;

Ответ: координаты проекции начала координат (.) (1; - 2; - 1;)