Высшая математика I.

Контрольная работа N 2 вариант 9

Рецензия:

Работа зачтена

Замечания:

Задача 8 – ошибка преобразований. Неверно определены координаты центра симметрии, действительная и мнимая полуоси.

Задача 10 - неверно записано уравнение фокальной оси.

1(940.РП). Даны координаты вершин треугольника А(3,4), В(-1,2), С(2,-1). Записать общее уравнение средней линии треугольника параллельной ВС.

А(3,4)

В(-1,2)

С(2,-1)

=В-С=(2-(-1),-1-2)=(3,-3)

Пусть - нормальный вектор для прямой KL . В качестве можно взять

=(-(-3),3)=(3,3)

3x+3y+C=0

BK=KAK(1,3)

т.к. точка К принадлежит прямой, то:

31+33+C=0

C=12

3x+3y-12=0

x+y-4=0

Ответ: x+y-4=0

2(1А1.БЛ). В прямоугольном треугольнике АВС известны: уравнение медианы 3x-4y+8=0, проведённой из вершины А(0,2) прямого угла , и вершина В(2,1). Найти координаты (x₀,y₀) вершины C треугольника.

=(x₀ -0, y₀ -2)=(x₀ , y₀ -2)

=(2-0, 1-2)=(2, -1)

=0  2x₀+(y₀ –2)(-1)=0

2x₀+2- y₀=0

CM=MB  M

Точка M принадлежит AM 

Ответ: координаты вершины С треугольника АВС - С(2,6 ).

3(Т32.РП). Записать общее уравнение плоскости, проходящей через толчки М₁(7, 2, -3) и М₂(5, 6, -4) параллельно оси OY.

=(5-7, 6-2, -4-(-3))=(-2, 4, -1)

=(0, 1, 0)  OY

В качестве вектора нормали для плоскости можно взять :

=

так как точка М₁ принадлежит плоскости, то:

Ответ: Общее уравнение заданной плоскости x – 2z – 13=0

4(9Д3). Найти коэффициент В в уравнении плоскости x+By+CZ+D=0, проходящей через точки P(1, -1, 1), O(0, 0, 0) параллельно прямой

Направляющий вектор для прямой:

так как прямая параллельна плоскости, то - направляющий вектор для плоскости, так же направляющий вектор для плоскости:

Уравнение плоскости с таким вектором:

Сравнивая с получаем В=4

Ответ: коэффициент В=4.

5(1А6.РП). При каких значениях параметров А₁ и А₂ прямая

параллельна прямой

Ответ записать в виде пары чисел (А₁,А₂).

Найдём направляющий вектор для первой прямой:

Найдём направленный вектор для второй прямой:

Прямые будут параллельны когда:

В нашем случае k=1, 

Ответ:

6(ДД3). Найти длину отрезка, отсекаемого от оси аппликат, плоскостью, содержащей прямую и отсекающей на осях абсцисс и ординат одинаковой длинны отрезки.

Переписываем уравнение прямой в параметрическом виде:

7(8Т3). Найдите уравнение касательной плоскости к сфере в точке .

Это уравнение сферы с центром в точке С(4, -3, -2) и радиусом

Вектор является нормальным к касательной плоскости.

Касательная плоскость:

так как точка принадлежит плоскости, то:

Ответ: уравнение касательной плоскости

8. Дана кривая

8.1. Доказать, что эта кривая – гипербола.

Перейдём к новым координатам:

тогда уравнение кривой примет вид:

- это уравнение гиперболы.

8.2(С54.БЛ). Найти координаты её центра симметрии.

Координаты центра симметрии (3, 4).

8.3(225.РП) Найти действительную и мнимую полуоси.

Действительная полуось а=1

Мнимая полуось b=3

8.4(346.РП). Записать уравнение фокальной оси.

5. Построить данную гиперболу.

9. Дана кривая

9.1. Доказать, что данная кривая – парабола.

Перейдём к новым координатам:

тогда уравнение кривой примет вид:

- уравнение параболы.

9.2(1Д7.РП). Найти координаты её вершины.

Ответ: (3, 3).

9.3(258). Найти значение её параметра .

Ответ:

9.4(С59.БЛ). Записать уравнение её оси симметрии.

9.5. Построить данную кривую.

10. Дана кривая .

1. Доказать, что эта кривая – эллипс.

Для собственного числа получаем систему:

полагая 1 найдём единичный собственный вектор

Собственный вектор ортогонален вектору , выберем вектор .

Перейдём к новому базису .

Матрица перехода имеет вид:

Перейдём к новым координатам:

10.2(8Д0.РП). Найти координаты центра его симметрии.

Ответ: (1, 1).

10.3(П01.БЛ). Найти его большую и малую полуоси.

Полуось

Полуось

Ответ: 1 и 3.

10.4(162.РП). Записать уравнение фокальной оси.

10.5. Построить данную кривую.