.

Высшая математика.

Контрольная работа № 2.

Вариант 1.

Задание 1.

Записать уравнение прямой, проходящей точки и Найти значения параметров k и b для этой прямой.

Решение.

Уравнение прямой, проходящей через точки и имеет вид .

Значит или 4(х+1)=2(у-2)

У = 2х + 4, где k = 2; b = 4.

Задание 2.

Две стороны квадрата лежат на прямых 5х – 12у –65 = 0 и 5х – 12у + 26 = 0. Вычислить его площадь.

Решение.

Так как то прямые параллельны и они различны. Найдем длину стороны квадрата - это расстояние между параллельными прямыми. Возьмем точку первой прямой. Тогда расстояние от точки до второй прямой равно

Значит . Тогда

Задание 3.

Записать общее уравнение плоскости, проходящей через перпендикуляры, опущенные из точки на плоскости 4х + у –3z + 13 =0 и х –2у +z – 11 = 0.

Решение.

Запишем уравнение любой прямой, проходящей через точку P: .

Координаты ( направляющего вектора прямой, перпендикулярной плоскости, можно заменить координатами нормального вектора n = (4; 1; -3) плоскости 4х + у – 3z + 13 =0. Тогда уравнение прямой запишется в виде

Найдем проекцию точки P на данную плоскость, решив совместно уравнения

4х + у – 3z + 13 = 0,

Перепишем уравнение прямой в виде:

Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнение плоскости найдем t.

4(4t – 3 ) + t + 2 – 3 (-3t + 5) + 13 = 0

16t –12 + t + 2 + 9t – 15 + 13 = 0

26t = 12, t =

Тогда

проекция точки P на плоскость 4x + y – 3z + 13 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через точки P и .

(1)

Теперь найдем проекцию точки P на плоскость x- 2y + z – 11 = 0.

Уравнение прямой проходящей через точки P и .

(2)

Искомая плоскость проходит через прямые (1) и (2). Так как величины не пропорциональны величинам то прямые пересекаются при выполнении условия

Задание 4.

Найти длину отрезка прямой, параллельной вектору , между точками пересечения её с плоскостями 2x + y – z – 6 = 0 и 2x + y – z – 4 = 0.

Решение.

Плоскости параллельны, т.к.

от точки плоскости отложим вектор

А

Отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями равны. Значит длина искомого отрезка равна длине вектора .

Ответ 5.

Задание 5.

Найти те значения m и n, при которых прямая пересекает прямые

Решение.

Приведем уравнения (1) и (2) к каноническому виду.

(1)

Найдем параллельный искомой прямой. Так как он должен быть перпендикулярен нормальным векторам.

заданных плоскостей, то за S можно принять векторное произведение векторов .

Таким образом в качестве точки через которую проходит искомая прямая, можно взять точку пересечения и с любой из координатных плоскостей.

Например, с плоскостью XOZ. Так как при этом то координаты определяются из системы уравнений заданных прямых, если в них положить y = 0.

Решая эту систему находим .

Прямые будут пересекаться, если

В нашем случае

15m - 12n + 34 * 6 = 0.

(2)

Теперь решим систему

Ответ: m = 48; n = 77.

Задание 6.

Дано, что прямая, пересекающая ось аппликат в точке параллельна плоскости отстоит от неё на расстоянии 7 и перпендикулярна оси координат. Найти абсциссу точки пересечения этой прямой с координатной плоскостью z = 0.

Решение.

Так как искомая прямая перпендикулярна оси Oу, то она находится в плоскости XOZ, и проходит через точки .

z

y

A

x

Так как она параллельна плоскости то расстояние между ними, равное 7, это расстояние от какой либо точки прямой до плоскости, которое вычисляется по формуле:

Имеем

Ответ: абсцисса точки пересечения прямой с плоскостью z = 0 21 или -28.

Задание 7.

Записать уравнение касательной к окружности в точке M(1, 2 ).

Решение.

принадлежит окружности. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенного в точку касания. В качестве вектора нормали касательной можно взять вектор где С ( 2; -4)- центр окружности.

СМ = ( -1; 6)

X –6y + c = 0

1 – 12 +c = 0

c = 11

x – 6y + 11 = 0 -искомое уравнение касательной.

Задание 8.

Дана кривая

8.1 Доказать, что эта кривая - эллипс.

2. Найти координаты центра его симметрии.

3. Найти его большую и малую полуоси.

4. Записать уравнение фокальной оси.

5. Построить данную кривую.

Решение.

8.1

8.2 Центр его симметрии находится в точке ( 1; 3 ).

8.3 Большая полуось а = 5

Малая полуось в = 3

8.4 Уравнение фокальной оси у = 3.

8.5.

у

111

0 1 X

Задание 9.

Дана кривая

9.1. Доказать, что данная кривая - парабола.

2. Найти координаты её вершины.

3. Найти значение её параметра p.

4. Записать уравнение её оси симметрии.

5. Построить данную параболу.

Решение.

9.1.

• это Уравнение параболы, симметричной относительно оси .

9.2. Вершина параболы ( 5; 0)

9.3 Сравнивая уравнение параболы с каноническим уравнением параболы находим

2p = -2, откуда p = - 1.

9.4.Ось симметрии х = 5.

9.5.

y

5

1 x

Задание 10.

10.Дана кривая

10.1.Доказать, что эта кривая - гипербола.

10.2.Найти координаты её центра симметрии.

10.3.Найти действительную и мнимую полуоси.

10.4.Записать общее уравнение фокальной оси.

10.5.Построить данную гиперболу.

Решение.

10.1.

10.2. Координаты её центра симметрии

10.3.Число 4 – действительная полуось.

Число 2 – мнимая полуось.

10.4. y

A1

B1 0

1 x

B2

A2

F2