Федеральное агентство РФ по образованию.

Томский университет систем управления и радиоэлектроники.

Контрольная работа

по дисциплине: “Высшая математика

Линейная алгебра и аналитическая геометрия”

Автор: Л.И. Магазинников

А.Л. Магазинников

Контрольная работа №2. Вариант №.2.7.

Выполнил:

Студент ТМЦДО

2007 г.

При решении контрольной работы используется учебное пособие

Магазинников Л.И., Магазинников А.Л. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие. - Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2003.-176с.

1. Запишите общее уравнение прямой, проходящей через точку М(2,4) перпендикулярно прямой 3х+4у+5=0.

РЕШЕНИЕ:

В качестве вектора нормали прямой L можно принять вектор, перпендикулярный вектору , например, вектор

Если пряма проходит через точку , перпендикулярно вектору ,то ее общее уравнение можно записать в виде:

получаем:

Ответ: 4x-3y+4=0

2. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку Р(3,5) на одинаковых расстояниях от точек А(-7,3) и В(11,-15). В ответ ввести уравнение той прямой, которая отсекает от осей координат треугольник, расположенный в первой четверти.

РЕШЕНИЕ:

Будем искать уравнение в виде Ax+By+C=0 так как эта прямая проходит через точку Р, то 3А+5В+С=0

Прямая Ах+Ву+с=0 находится на одинаковом расстоянии от точек А(-7,3) и В(11,-15).

Используя формулу

получаем

или

Для отыскания неизвестных коэффициентов А, В, С получаем две различные системы уравнений

1) 2)

Решаем первую систему уравнений

1)

Подставим в уравнение Ax+By+C=0 найденные значения, получим

Решаем вторую систему уравнений

2)

Подставим в уравнение Ax+By+C=0 найденные значения, получим

Общее решение искомой прямой можно записать в виде х+у-8=0 или 11х-у-28=0

Уравнение прямой, которая отсекает от осей координат треугольник, расположенный в первой четверти

х+у-8=0

у=-х+8

Ответ: х+у-8=0

3. Составьте общее уравнение плоскости проходящей через точки параллельно вектору АВ=(4,-3,-2)

РЕШЕНИЕ:

Уравнение плоскости проходящей через данные точки параллельно вектору АВ имеет вид:

, ,

Ответ: х+2у-z-7=0

3. Найдите координаты проекции начала координат на прямую

РЕШЕНИЕ:

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

Направляющий вектор J=(4,3,-2) можно принять в качестве вектора нормали плоскости N.

Записываем уравнение плоскости N:

4х+3у-2z+D=0

Так как точка начала координат О(0,0,0) лежит в плоскости P, то

4*0+3*0-2*0+D=0

D=0

Уравнение плоскости N имеет вид:

4х+3у-2z=0

Найдем точку пересечения прямой с плоскостью N.

Находим то значение параметра , при котором происходит пересечение прямой и плоскости N.

Так как точка лежит в данной плоскости, то её координаты удовлетворяют уравнению плоскости 4x+3y-2z=0

Полагая в параметрическом уравнении прямой , найдём координаты проекции начала координат на данную прямую:

Ответ: (1, -2, -1)

3. При каком значении параметра С прямая параллельна плоскости x+3y+Cz-2=0.

РЕШЕНИЕ:

условие параллельности прямой с направляющими координатами

e, m, n и плоскости

Ax+By+Cz+D=0 есть Ae+Bm+Cn=0

Найдём направляющий вектор прямой

то есть , где m=1, n=1, p=2

Плоскость: x+3y+Cz-2=0

где А=1, В=3, С=С

1*1+3*1+С*2=0

1+3+2С=0

2С=-4

С=-2

Ответ: С=-2

6. Две грани куба лежат на плоскостях 3x-6y+2z-5=0 и 3x-6y+2z+30=0. Вычислите объём куба.

РЕШЕНИЕ:

Данные плоскости параллельны так как выполняется условие

, то есть

На плоскости 3x-6y+2z-5=0 возьмём произвольную точку Р с координатами х=2, у=1 тогда 2z=-3x+6y+5

z=(-3x+6y+5)/2

z=(-3*2+6*1+5)/2

z=5/2=2,5

точка Р (2; 1; 2,5), на плоскости 3x-6y+2z+30=0 найдём точку Q, являющуюся проекцией точки Р.

Запишем параметрическое уравнение прямой проходящеё через точку Р

и найдём точку пересечения её с плоскостью 3x-6y+2z+30=0

3*(3t+2)-6*(-6t+1)+2*(2t+2,5)+30=0

9t+6+36t-6+4t+5+30=0

49t+35=0

49t=-35

t=-35/49

t=-5/7

Найдём координаты точки Q:

Длинна ребра куба, равна длине отрезка PQ:

Ответ: 173,74

7. Докажите что уравнение определяет сферу,

найдите координаты её центра и радиус R. В ответе запишите четвёрку чисел .

РЕШЕНИЕ:

Выделяем полные квадраты:

Заданная кривая- сфера с центром в точке М(2, -3, 4) и радиусом R=8

Ответ: (2, -3, 4, 8)

8. Дана кривая

8.1. Докажите, что эта кривая – эллипс.

8.2. Найдите координаты центра его симметрии.

8.3. Найдите его большую и малую полуоси.

8.4. Запишите уравнение фокальной оси.

8.5. Постройте данную кривую.

РЕШЕНИЕ:

Данная кривая- эллипс.

Координаты центра его симметрии (7; 0)

Большая полуось: а=4

Малая полуось: в=5

Уравнение фокальной оси: у=0

9. Дана кривая

9.1 Докажите что данная кривая кривая- парабола.

9.2 Найдите координаты её вершины.

9.3 Найдите значение её параметра р.

9.4 Запишите уравнение её оси симметрии.

9.5 Постройте данную параболу.

РЕШЕНИЕ:

Данная кривая- парабола.

Координаты её вершины (8; 0).

Находим значение её параметра р:

то есть 2р=14, р=7.

Уравнение её оси симметрии х=8

10. Дана кривая

10.1 Докажите что данная кривая- гипербола.

10.2 Найдите координаты её центра симметрии.

10.3 Найдите квадраты её действительной и мнимой полуосей.

10.4 Запишите общее уравнение фокальной оси.

10.5 Постройте данную гиперболу.

РЕШЕНИЕ:

Квадратичную форму В(х,у)=приводим к главным осям. Для этого записываем матрицу этой квадратичной формы

и находим её собственные числа и собственные векторы. Записываем и решаем характеристическое уравнение матрицы В:

Так как собственные числа имеют разные знаки, то данное уравнение определяет кривую гиперболического типа.

Находим собственные векторы матрицы В. Для собственного числа, получаем систему , отсюда получаем .

Положим , найдём единичный собственный вектор .

Другой базисный вектор .

Записываем матрицу Q перехода от базиса к новому базису .

,

Старые координаты (х;у) связанны с новыми соотношениями

, или ,

В новой системе координат уравнение данной кривой примет вид:

Выделяя полные квадраты, получаем:

Действительная полуось а=1

Мнимая полуось в=

Произведём преобразование параллельного переноса системы координат в новое начало по формулам

В системе координат уравнение гиперболы имеет вид:

Оси , направлены по прямым:

Фокальной осью является прямая : у=0.

Для построения гиперболы строим в старой системе координат новую систему, в которой строим данную гиперболу:

где: