Контрольная работа 2 / 2- 9_Высшая математика_2

1. Даны координаты вершин треугольника A (3,4), B(-1,2), C(2,-1). Запишите общее уравнение средней линии треугольника, параллельной BC.

Координаты середин отрезков AC (x₁ , y₁) и AB (x₂ , y₂) :

x₁ = (3+2)/2 = 2,5

y₁ = (4-1)/2 = 1,5

x₂ = (3-1)/2 = 1

y₂ = (4+2)/2 = 3

Ax + By + C = 0

y = kx + b

Составим систему:

1,5 = 2,5k + b

3 = k + b

k = -1

b = 4

-x – y + 4 = 0

Ответ: общее уравнение средней линии –x – y + 4 = 0.

2. В прямоугольном треугольнике ABC известны: уравнение медианы 3x-4y+8=0, проведенной из вершины A (0,2) прямого угла, и вершина B (2,1). Найдите координаты (x₀,y₀) вершины C треугольника.

Сначала запишем общее уравнение прямой AB. Для этого составим систему :

1 = 2k + b

2 = b

Решая систему, получаем k = -0,5 ; b = 2

Уравнение прямой записываем в виде y = kx + b :

y = -0,5x + 2  0,5x + y – 2 = 0

Теперь запишем уравнение прямой AC. Вектор нормали для прямой AB – N₁ (0,5 ; 1).

Так как треугольник прямоугольный, то прямые AB и AC являются его катетами и перпендикулярны. Следовательно, вектор нормали для прямой AC – N₂ (1 ; -0,5).

Тогда её уравнение записывается в виде x – 0,5y + (10 – 0,52) = 0  x – 0,5y + 1 = 0

Принимая обозначения координат точки C из задания, можно записать координаты точки M в виде ((x₀+2)/2 ; (y₀+1)/2) , так как она является серединой отрезка BC, и её координаты находятся по соответствующей формуле. А так как точка M лежит на прямой AM, уравнение которой известно, можно записать 3  ((x₀+2)/2) – 4  ((y₀+1)/2) + 8 = 0 

 3x₀ – 4y₀ + 18 = 0

Составляем систему :

x₀ – 0,5y₀ + 1 = 0

3x₀ – 4y₀ + 18 = 0

Решая её, получаем x₀ = 2 ; y₀ = 6. Это и есть координаты точки C.

Ответ : точка C (2,6).

3. Запишите общее уравнение плоскости проходящей через точки M1(7,2,-3) и M2(5,6,-4) параллельно оси OY.

Общее уравнение плоскости имеет вид Ax+By+Cz+D=0.

Так как плоскость может задаваться двумя принадлежащими ей точками и вектором нормали, то рассмотри векторное произведение векторов M1M2 (-2,4,-1) и j (0,1,0).

Ответ: общее уравнение плоскости

4. Найдите коэффициент B в уравнении плоскости , проходящей через точки P(1,-1,1), O(0,0,0)

параллельно прямой

Т.к. прямая описываемая уравнением параллельна плоскости, то рассмотрим векторное произведение направляющего вектора прямой и вектора OP=(1,-1,1), лежащего в данной плоскости. Имеем:

Учитывая запишем

Подставив координаты точки O в уравнение имеем:

Ответ: B = 4

5. При каких значениях параметров A1 и A2 прямая

параллельна прямой

Ответ запишите в виде пары чисел (A1,A2).

Известно, что прямые параллельны в том случае, если параллельны их направляющие векторы.

Т.к. найдем частное решение данной системы, принимая x в качестве свободного.

Решая

3y – 5z = -A₁x

2y+3z = 6 – A₂x,

относительно y и z, получаем

y = (-3/19A₁-5/19A₂)x + 30/19

z = (2/19A₁-3/19A₂)x + 18/19

Положим , тогда

x = t

y = (-3/19A₁-5/19A₂)t + 30/19

z = (2/19A₁-3/19A₂)t + 18/19

Перейдем от параметрической формы к канонической:

x/1 = (y – 30/19)/(-3/19A₁-5/19A₂) = (z – 18/19)/ (2/19A₁-3/19A₂)

Получаем направляющий вектор : I = (1; -3/19A₁-5/19A₂; 2/19A₁-3/19A₂)

Далее аналогично получим направляющий вектор для второй системы.

и в канонической форме:

направляющий вектор данной прямой (19, -11, 1). Найдем такие A₁ и A₂, при которых данные векторы параллельны. Составим систему :

-3A₁-5A₂ = -11

2A₁-3A₂ = 1

Решая её, получаем A₁ = 2, A₂ = 1.

Ответ : прямые параллельны при A₁ = 2, A₂ = 1.

6. Найдите длину отрезка, отсекаемого от оси аппликат, плоскостью, содержащей прямую и отсекающей на осях абсцисс и ординат одинаковой длины отрезки.

Согласно условию плоскость пересекает оси абсцисс в точке M1(A,0,0) и M2(0,A,0).

Рассмотрим векторное произведение векторов l (направляющий вектор прямой) и M1M2.

Получаем вектор нормали (-4,-4,6)

Запишем уравнение плоскости в виде -4x-4y+6z+D = 0

Теперь запишем уравнение прямой в параметрической форме:

x = t – 3

y = 5t – 3

z = 4t + 6

Очевидно, что вектор l = (1,5,4) является направляющим для данной прямой,

а точка (-3,-3,6) лежит на прямой и, следовательно, на плоскости.

Поэтому:

12 + 12 + 36 + D = 0  D = -60

Тогда уравнение плоскости примет вид -4x-4y+6z-60 = 0

Найдем длину отрезка, отсекаемого от оси аппликат:

6z – 60 = 0

z = 10

Ответ: длина отрезка составляет 10.

7. Найдите уравнение касательной плоскости к сфере

в точке M0(1,1,2)

Выделим полные квадраты:

Следовательно, данная сфера имеет центр в точке C(4,-3,-2) и радиус .

Найдем вектор CM0 = (-3, 4, 4).

Этот вектор является вектором нормали в точке M0, поэтому уравнение плоскости запишем как

Т.к. точка M0 лежит в плоскости, то найдем D как -3+4+8+D=0

D=-9

Уравнение плоскости:

8. Дана кривая

8.1 Докажите, что эта кривая – гипербола.

Выделив в уравнении полные квадраты, имеем:

или

положим, что

тогда уравнение примет вид:

, что соответствует каноническому уравнению гиперболы.

8.2 Найдите координаты центра ее симметрии.

отсюда – центром симметрии является точка с координатами (4,3).

8.3 Найдите действительную и мнимую полуоси.

Каноническим уравнением гиперболы является уравнение вида:

, где числа a и b являются соответственно действительной и мнимой полуосями. Для данной кривой a=1, b=2.

8.4 Запишите уравнение фокальной оси.

8.5 Постройте данную гиперболу.

9. Дана кривая

9.1 Докажите, что данная кривая – парабола.

Выделим в уравнении полные квадраты:

Положим:

Уравнение примет вид , что соответствует каноническому уравнение параболы.

9.2 Найдите координаты ее вершины.

Вершиной параболы является точка с координатами (x1,y1), т.е.

9.3 Найдите значение ее параметра p.

Каноническим уравнением параболы является уравнение вида

Откуда выражаем:

9.4 Запишите уравнение ее оси симметрии.

Осью симметрии данной параболы является прямая , т.е. прямая .

9.5 Постройте данную кривую.

10. Дана кривая

10.1 Докажите, что кривая – эллипс.

Запишем матрицу квадратичной формы :

и характеристическое уравнение этой матрицы

Находим корни и данного уравнения:

т.к. , то данная кривая является эллипсом.

Найдем собственные векторы матрицы B. Для собственного числа получаем:

, отсюда получаем и некоторый собственный вектор , также выберем другой собственный вектор

От старого базиса (0,I,j) перейдем к новому (0,i1,j1).

x₁ = (x+y)/ 2

y₁ = (-x+y)/ 2

Перепишем исходное уравнение в новой системе координат:

9x₁² – 4y₁² – 36x₁/2 + 9 = 0

10.2 Найдите координаты центра его симметрии.

O₁ (1 ; 1). Решение см. 10.5.

10.3 Найдите его большую и малую полуоси.

Выделив полный квадрат, получим:

(x₁-2/2)² – (4/9)(y₁)² = 1

(x₁-2/2)²/1 – (y₁)²/(9/4) = 1

Следовательно:

a = 1

b = 1,5

Произведём преобразование параллельного переноса системы координат в новое начало O₁ по формулам:

x₂ = x₁-2/2

y₂ = y₁

x₂ = (x+y-2)/2

y₂ = (-x+y)/2

В новой системе координат эллипс имеет уравнение (x₂²/1) + (y₂²/(9/4)) = 1.

10.4 Запишите уравнение его фокальной оси.

Фокальной осью является прямая , то есть –x + y = 0.

10.5 Постройте данную кривую.

Сначала построим оси новой системы координат с центром в точке O₁. Координаты её найдём, решая систему :

x + y = 2

x = y

Система была получена путём приравнивания нулю значений x₂ и y₂ в последней полученной системе уравнений. Затем избавились от корня в знаменателе.

Итак, x = y = 1. Значит, координаты точки O₁ – (1 ; 1).

Далее в этой системе координат построим эллипс.

Координаты вершин эллипса A₁(-a,0) A₂(a,0), B₁(0,b), B₂(0,-b), то есть

A₁ (-1 , 0)

A₂ ( 1 , 0)

B₁ (0 , 1,5)

B₂ (0 , -1,5)