Министерство образования

Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра математики.

Контрольная работа №2

по высшей математике.

Вариант 2.5

1. Составьте общее уравнение прямой, проходящей через точку М(1, 4) параллельно прямой

2х + 3y + 5 = 0.

Решение:

В качестве вектора нормали данной прямой можно принять вектор N(2, 3) и записать искомое уравнение 2х + 3y – (2 + 12) = 0 или 2x + 3y – 14 = 0

Ответ: 2x + 3y – 14 = 0

2. Найдите координаты проекции точки М(3, 6) на прямую x + 2y – 10 = 0.

Решение:

Пусть проекцией точки М будет точка M'.

Точку М' можно найти как точку пересечения прямой x + 2y – 10 = 0 и прямой ММ', перпендику-лярной к данной.

Прямая ММ' параллельна вектору N₁(1, -2) – нормали прямой x + 2y – 10 = 0. В качестве нормали прямой ММ' можно принять вектор N₂(-2, 1), тогда уравнение прямой будет иметь вид –2x + y – (-6+6) = 0 или –2x + y = 0

Для отыскания координат точки М' составим систему уравнений:

решив которую, находим x = 2, y = 4, то есть М'(2, 4).

Ответ: (2, 4).

3. Запишите общее уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М₁(-6, 1, -5), М₂(7, -2, -1), М₃(10, -7, 1).

Решение:

Данная плоскость параллельна векторам m₁ = M₁M₂ = (7 + 6, -2 – 1, -1 + 5) = (13, -3, 4), m₂ = M₁M₃ = (10 + 6, -7 – 1, 1 + 5) = (16, -8, 6).

Поэтому в качестве вектора нормали можно взять вектор N[m₁, m₂] = .

Разложим этот определитель по первой строке:

N = i – j + k = 14i – 14j – 56k || (1, -1, -4).

Уравнение плоскости x – y – 4z + D = 0.

Для определения D используем условие, что плоскость проходит через точку M₁(-6, 1, -5):

-6 – 1 + 20 + D = 0,

D = -13.

Уравнение плоскости x – y – 4z – 13 = 0.

Проверим, что точки M₂ и M₃ принадлежат этой плоскости:

М₂(7, -2, -1): 7 + 2 + 4 – 13 = 0

13 – 13 = 0, значит точка М₂ принадлежит данной плоскости.

М₃(10, -7, 1): 10 + 7 – 4 – 13 = 0

17 – 17 = 0, значит точка М₃ принадлежит данной плоскости.

Ответ: x – y – 4z – 13 = 0.

4. Известно, что прямая L параллельна вектору l = (0, 9, 12). Найдите длину отрезка этой прямой между плоскостями x + y + z – 3 = 0 и x + y + z – 24 = 0.

Решение:

Рассмотрим положение плоскостей x + y + z – 3 = 0 и x + y + z – 24 = 0 в пространстве: нормали плоскостей N₁(1, 1, 1) и N₂(1, 1, 1) равны, значит, плоскости параллельны. Так как ≠, то данные плоскости не совпадают.

Так как прямая L параллельна вектору l = (0, 9, 12), то уравнение прямой имеет вид: 9y + 12z + D = 0.

Пусть D = 0, тогда уравнение прямой будет 9y + 12z = 0. Найдем точки пересечения прямой с плоскостями x + y + z – 3 = 0 и x + y + z – 24 = 0 и запишем уравнение прямой в параметрическом виде. Пусть z – свободный член, тогда

Найдем значение параметра t₁, при котором прямая пересекает плоскость x + y + z – 3 = 0. Точка Н₁(0, , t₁) лежит в данной плоскости, значит ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, следовательно, + t₁ – 3 = 0. Найдем t₁: -12 t₁ + 9 t₁ – 27 = 0, -3 t₁ = 27, t₁ = -9.

Аналогично найдем значение параметра t₂, при котором прямая пересекает плоскость x + y + z – 24 = 0. Точка Н₂(0, , t₂) лежит в данной плоскости, значит ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, тогда + t₂ – 24 = 0, -12t₂ + 9 t₂ – 216 = 0, t₂ = -72.

Подставляя в параметрическое уравнение значения t₁ = -9, t₂ = -72 найдем точки пересечения

Н₁(0, 12, -9) и Н₂(0, 96, -72) прямой L с данными плоскостями.

По формуле расстояния между двумя точками в пространстве, находим отрезок Н₁Н₂ между данными плоскостями:

d = ,

Н₁Н₂ = = = 105.

Ответ: d = 105.

5. Некоторая прямая проходит через точку Р(2, 2, 1), пересекает ось в точке Q(0, y_o, 0) и пересекает прямую Найдите y_o.

Решение:

Пусть z – свободный член, тогда преобразуем данную систему уравнений при z = t:

Условием пересечения двух прямых является равенство (r₂ – r₁, l₁, l₂) = 0, где r₂ = (2, 2, 1), r₁ = (-2, -1, 0), l₁ = (3, 2, 1), l₂ = PQ = (-2, y₀-2, -1).

Тогда (r₂ – r₁, l₁, l₂) = = = -2·– (y_o – 2)·– 1· =

= -2 – (y_o – 2) – 2 = 0,

-4 – y_o + 2 = 0,

y_o = 2.

Ответ: y_o = 2.

6. Плоскость содержит прямую = = и параллельна прямой х – 3 = у – 3 = -2 (z – 6). Найти квадрат расстояния от второй прямой до плоскости.

Решение:

Преобразуем данные канонические уравнения прямых: 2х + 3z – 18 = 0 – прямая в плоскости, х + у – 4z – 18 = 0 – прямая, параллельная плоскости. Следовательно, эти прямые непараллельные, то есть , и скрещивающиеся, так как одна из прямых содержится в плоскости, параллельной второй. Тогда нахождение отрезка между плоскостью и второй прямой сведется к нахождению отрезка между двумя скрещивающимися прямыми.

Приведем уравнения прямых от канонического к параметрическому виду:

и

По формуле , где r₁ = (0, 0, 6), r₂ = (3, 3, 6), l₁ = (3, 0, -2), l₂ = (1, 1, ), находим

r₁ – r₂ , l₁, l₂ = = i · – j · + k · = -2i + j + 3k.

d² = = = = =.

Ответ: .

7. Доказать, что уравнение х² + у² + 6х – 10у – 15 = 0 определяет на плоскости X0Y окружность. Найти ее центр и радиус R. В ответе сначала указать х_о, у_о – координаты центра, затем R.

Решение:

Уравнение вида a₁₁x² + a₂₂y² + 2a₁₂xy + a₀₁x + a₀₂y + a₀₀ = 0 определяет на плоскости окружность, если а₁₁ = а₂₂ 0, а₁₂ = 0. В нашем случае данное уравнение удовлетворяет условию, поэтому х² + у² + 6х – 10у – 15 = 0 определяет на плоскости X0Yокружность.

Найдем радиус и центр данной окружности:

х² + у² + 6х – 10у – 15 = (х² + 6x + 9) + (у² – 10y + 25) – 49 = 0?

(x + 3)² + (y – 5)² = 49.

Следовательно, (3, -5) – центр окружности, а R = = 7 – радиус.

Ответ: (3, -5) – центр окружности, R = 7.

8. Дана кривая 4x² – y² – 24x + 4y + 28 = 0.

8.1 Доказать, что эта кривая – гипербола.

8.2 Найти координаты ее центра симметрии.

8.3 Найти действительную и мнимую полуоси.

8.4 Записать уравнение фокальной оси.

8.5 Построить данную гиперболу.

Решение:

8.1 Каноническое уравнение гиперболы .

В уравнении кривой выделим полные квадраты, то есть 4(x² – 6x + 9) – (y² – 4y + 4) – 4 = 0,

4(х – 3)² – (y – 2)² = 4 или , следовательно, данное уравнение является уравнением гиперболы.

8.2 x₁ = x – 3, y₁ = y – 2, т.е. центр симметрии данной гиперболы находится в точке (3, 2).

8.3 Из уравнения гиперболы , мнимой полуосью является число b, а действительной – число a. То есть b = 2, a = 1.

4. так как фокусы расположены на прямой, параллельной оси OX, то уравнение фокальной оси y = 2.

8.5

9. Дана кривая y² + 6x + 6y + 15 = 0.

9.1 Докажите, что эта кривая – парабола.

9.2 Найдите координаты ее вершины.

9.3 Найдите значения ее параметра р.

9.4 Запишите уравнение ее оси симметрии.

9.5 Постройте данную параболу.

Решение:

9.1 Выделяя полный квадрат, получим (y² + 6y + 9) + 6x + 6 = 0, т.е. (y + 3)² + 6x + 6 = 0. Если положить y₁ = y + 3, x₁ = -6x – 6, то уравнение приводится к виду , следовательно, данное уравнение является уравнением параболы.

9.2 Тогда координаты вершины параболы будут y = -3, x = -1, т.е. (-1, -3).

9.3 Сравнивая последнее уравнение с каноническим уравнением параболы находим, что 2р = 1, р = .

9.4 Осью симметрии является прямая, проходящая через точку (-1, -3) и параллельная оси абсцисс, т.е. y = -3.

9.5

10. Дана кривая 5х² + 5y² + 6ху – 16х – 16у = 16.

10.1 Докажите, что эта кривая – эллипс.

10.2 Найдите координаты его центра симметрии.

10.3 Найдите его большую и меньшую полуоси.

10.4 Запишите уравнение фокальной оси.

10.5 Постройте данную кривую.

Решение:

10.1 Квадратичную форму В(х, у) = 5х² + 6ху + 5y² приводим к главным осям. Для этого запишем матрицу этой квадратичной формы В = и найдем ее собственные числа. Запишем и решим характеристическое уравнение матрицы В:

= λ² – 10λ + 16 = 0,

λ_1,2 = 5 ± = 5 ± 3, λ₁ = 8, λ₂ = 2.

Так как собственные числа λ₁, λ₂ > 0, то данное уравнение является уравнением эллипса.

10.2 Найдем собственные векторы чисел λ₁ и λ₂:

Для числа λ₁ имеем В = = . Если положим то единичный вектор i₁ имеет координаты i₁ = .

Другой собственный вектор, отвечающий собственному числу λ₂, может быть задан в виде j₁ = . Базис (i₁, j₁) принят правым.

Запишем матрицу перехода от базиса (О, i, j) к (O₁, i₁, j₁):

Q = и обратную матрицу к ней Q^-1 = Q^T = .

Новые координаты (х₁, у₁) связаны со старыми (х, у) соотношением

В новой системе координат уравнение эллипса 5х² + 5y² + 6ху – 16х – 16у = 16 принимает вид: , . После выделения полных квадратов получаем .

В системе координат (O₁, i₁, j₁) находим

Тогда .

При х₂ = 0, у₂ = 0 найдем центр симметрии эллипса, координатами которого являются координаты точки О₁:

О₁(-1, -1).

10.3 Взяв уравнение , найдем большую полуось, равную а=4, и меньшую, равную b=2.

10.4 так как фокусы расположены на новой оси О₁Х₂, то уравнением фокальной оси будет –х + у = 0.

10.5