Контрольная работа 2 / 2- 9_Высшая математика_6

Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Контрольная работа № 2

Вариант 2.9

по дисциплине «Высшая математика-1»

Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Вариант 2.9

1.Даны координаты вершин треугольника А(3, 4), В(-1, 2), С(2, -1). Запишите общее уравнение средней линии треугольника, параллельной ВС.

Решение. Точка М₀ и М₁ середины отрезков АВ и АС. Находим координаты точки М₀;

х₀ = , у₀ = ,

и точки М₁;

х₁ = , у₁ = .

М₀(1, 3);

М₁.

М₀, М₁ = . В качестве вектора нормали можно принять вектор N = , тогда уравнение примет следующий вид 1,5х + 1,5у + С = 0.

Коэффициент С общего уравнения находим по формуле С = - (Ах₀ + Ву₀) = 0, С = - 6.

Записываем общее уравнение средней линии 1,5х + 1,5у – 6 = 0.

Ответ: 1,5х + 1,5у – 6 = 0.

2. В прямоугольном треугольнике АВС известны: уравнение медианы 3х - 4у + 8 = 0, проведённой из вершины А(0, 2) прямого угла, и вершина В(2, 1). Найдите координаты (х₀, у₀) вершины С треугольника.

Решение

.

D –точка пересечения медианы и стороны треугольника ВС

Нормальный вектор АВ(2-0; 1 -2) = AB (2; -1)

Уравнение АВ

АВ перпендикулярна ВС, поэтому

Т.к. D – точка пересечения прямой ВС и медианы, то можно записать

2,5x + 5 = 0 => x₀ = 5

3 – 2y + 9 = 0 => y₀ = 6

Ответ: С(2; 6)

3. Запишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(7, 2, -3) и М₂(5, 6, -4) параллельно оси OY.

Решение. Данная плоскость параллельна векторам L₁ = М₁М₂ = (-2, 4, -1) и L₂ = (0, 1, 0) = J, поэтому её векторы нормали

N = [L₁, L₂] = //[1, 0, -2]

N = (1, 0, -2)

Записываем уравнение плоскости х – 2z + D = 0, так как плоскость проходит через точку М₁(7, 2, -3) (или М₂), то 7 + 6 + D = 0. D = -13. Искомое уравнение имеет вид

х – 2z + D = 0.

Ответ: х – 2z + D = 0.

4. Найдите коэффициент В в уравнении плоскости х + Ву + СZ + D = 0, проходящей через точки Р(1, -1, 1), О(0, 0, 0) параллельно прямой .

Решение.

Уравнение плоскости можно записать как

и ее нормальный вектор

уравнении плоскости, проходящей через точки Р(1, -1, 1), О(0, 0, 0) параллельно прямой .

Ответ: В = 4.

5. При каких значениях параметров А₁ и А₂ прямая параллельна прямой .

Ответ записать в виде пары чисел (А₁, А₂).

Решение. Так как обе прямые параллельны, то направляющий вектор прямой П: перпендикулярен нормальному вектору (плоскости П)

Геометрический вектор =(19, -11, 1)//П.

Нормальные вектора

n₁ = (А₁, 3, -5)

n₂ = (А₂, 2, 3)

перпендикулярны вектору . Вычисляем параметры А₁, А₂:

А₁ ∙ 19 + 3 ∙ (-11) – 5 ∙ 1= А₁ ∙ 19 - 38

А₁ = 2.

А₂ ∙ 19 + 2∙(-11) + 3 ∙ 1 = А₂ ∙ 19 – 19

А₂ = 1.

Ответ: (2, 1).

6. Найдите длину отрезка, отсекаемую от оси аппликат, плоскостью, содержащей прямую

и отсекающей на осях абсцисс и ординат одинаковой длины.

Решение.

уравнение заданной плоскости

xz₀ + yz₀ + az – az₀ = 0

Так как прямая а лежит в плоскости α, тогда и точки N и P прямой лежат в плоскости α.

заменяя x = t получим

т.е. N(0; 12; 18)

Для точки Р

заменяя z = t получим

, т.е. P (-9/2; -21/2; 0)

Откуда a = -15

Ответ: 5.

7. Найдите уравнение касательной плоскости к сфере х² + у² + z² - 8х + 6у + 4z – 12 = 0 в точке М₀(1, 1, 2).

Решение. Выделяем полные квадраты (х – 4)² + (у+3)² + (z+2)² – 16 – 9 – 4 – 12 = 0,

(х – 4)² + (у + 3)² + (z + 2)² = 41, следовательно, данное уравнение определяет сферу в точке

С(4, -3, -2) радиуса R = . Вектор СМ₀ = (-3, 4, 4) является вектором нормали касательной плоскости к сфере в точке М₀. Поэтому уравнение этой плоскости:

-3х + 4у + 4z + D = 0, точка М₀(1, 1, 2) лежит в плоскости. Поэтому -3 + 4 + 8 + D = 0,

D = -9.

Уравнение -3х + 4у + 4z – 9 = 0 – искомое.

Ответ: -3х + 4у + 4z – 9 = 0.

8. Дана кривая 4х² – 32х – у² + 6у +51 = 0.

Докажите, что эта кривая - гипербола.

Найдите координаты её центра симметрии.

Найдите действительную и мнимую полуоси.

Запишите уравнение фокальной оси.

Постройте данную гиперболу.

Решение. Выделяя полные квадраты, приведём уравнение кривой к виду: 4(х – 4)² - (у - 3)² = - 4 или . Положив х₁ = х – 4, у₁ = у – 3. Тогда в системе координат (О₁, i₁, j₁) гипербола примет вид

Даная кривая – гипербола. Видим, что действительная полуось a = 1, а мнимая b = 2.

Оси О₁х₁, О₁у₁ направлены пот прямым х - 4 = 0, у – 3 = 0,. Координаты точки О₁, являющиеся центром симметрии гиперболы, получаем х = 4, у = 3, О₁(4, 3). Фокальной осью является прямая у₁ = 0, у - 3 = 0.

Для построения гиперболы строим в старой системе новую систему координат, в которой строим данную гиперболу.

9.Дана кривая 4х + 6у – у² = 21.

Докажите, что данная кривая – парабола.

Найти координаты её вершины.

Найти значения её параметра р.

Запишите уравнение её оси симметрии.

Постройте данную параболу.

Решение. Выделяя полные квадраты, приведём уравнение кривой к виду: 4(х – 3) - (у - 3)² = 0 4(х – 3) = (у - 3)². Положив х₁ = х – 3, у₁ = у – 3 то уравнение кривой в новой системе координат (О₁, i₁, j₁) примет вид . Данное уравнение кривой определяет – параболу. Видим что параметр р параболы: р = 2. Вершина параболы О₁, находится в точке х₁ = 0, у₁ = 0, следовательно, ёе координаты О₁(3, 3).Осью симметрии является прямая у₁ = 0, у – 3 = 0.

Для построения гиперболы строим в старой системе новую систему координат, в которой строим данную параболу.

10. Дана кривая 5х² + 5у² + 8ху - 18х - 18у + 9 = 0.

Докажите, что эта кривая – эллипс.

Найдите координаты центра его симметрии.

Найдите его большую и малую полуоси.

Запишите уравнение фокальной оси.

Постройте данную кривую.

Решение. Квадратичную форму В(х, у) = 5х² + 8ху +5у² приводим к главным осям. Для этого записываем матрицу этой квадратичной формы В = и находим её собственные числа и векторы. Записываем и решаем характеристическое уравнение матрицы В :

Его корни являются собственными числами. Так как , то кривая - эллипс. Находим собственные числа и векторы матрицы В. Для собственного числа получаем систему отсюда . Положив = 1, находим собственный вектор По свойству собственных векторов симметрического оператора второй собственный вектор j₁ ортогонален вектору i₁. Вычисляем вектор таким образом , чтобы базис (i₁, j₁) был правым. От старого базиса (0, i, j) перейдём к новому базису (0, i₁, j₁). Матрица перехода имеет вид Старые координаты (х, у) связаны с новыми (х₁, у₁) соотношениями или . В новой системе координат уравнение данной кривой примет следующий вид:

Выделяя полные квадраты, приведём уравнение кривой к виду: .

Совершим параллельный перенос осей координат в новое начало О₁ по формуле Теперь

В системе координат (О₁, i₁, j₁) эллипс имеет уравнение Оси О₁х₂, О₁у₂ направлены по прямым х + у - 2 = 0, х - у = 0. Координаты точки О₁, являющиеся центром симметрии эллипса, находим решая систему Получаем х = 1, у = 1, О₁(1, 1). Фокальной осью является прямая х₂ = 0, х + у – 2 = 0. Из уравнения следует, что большая полуось равна 1,а малая равна 3.

Для построения эллипса строим в старой системе новую систему координат, в которой строим данный эллипс.

Учебное пособие Л. И. Магазинников, А. Л. Магазинникова.

9 марта 2004 г.