Министерство образования РФ

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. (ТУСУР)

Контрольная работа №2

По: Высшей математике-1

Автор методического пособия: Л.И. Магазинников

Вариант №5

2003

Найти пределы последовательностей:

1. .

2.

.

Найти пределы функций:

3. , так как:

.

.

4.

.

5.

.

.

6. .

7. Выделить главную часть вида бесконечно малой при . В ответ ввести сначала c, потом k.

Ответ: 2, 3.

8. Записать все точки разрыва, указывая следом за точкой тип разрыва.

а) .

Точки разрыва: .

.

.

- точка разрыва второго рода.

.

.

- точка разрыва первого рода.

.

.

- точка устранимого разрыва.

б) .

Точки разрыва: .

.

.

- точка устранимого разрыва.

.

.

- точка разрыва первого рода.

.

.

- точка разрыва второго рода.

Ответ: а) (–2, 2), (1, 1), (2, у) б) (-5, у), (0, 1), (1, 2).

9. Найти производные от данных функций:

а)

.

б)

.

в)

.

10. Дана функция Найти Вычислить

.

11. Доказать, что функция z = cosy+(y-x)siny удовлетворяет уравнению

Найдем частные производные второго порядка функции z

Подставим их в уравнение

0 = 0 – верно.

12. Функция z = z(x, y) задана неявно уравнением .

Вычислить: а) б)

где

При х = 1, y = -2, z = 1/3 из данного уравнения

13. Дана функция Найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [0;4].

Функция дифференцируема на Найдем стационарные точки из условия

Вычисляем значения функции в точках

.

Сравнивая их, видим, что наибольшее значение достигается в точке х = 1 и равно 1, а наименьшее – в точках х =0 и x=4 равно 0.

14. Провести полное исследование функции и начертить ее график.

1) Область определения функции вся числовая прямая за исключением точки т.е.

2) четная

3) Точки пересечения с осями

а) с Ох: если y=0, то б) с Оy: нет

4) Асимптоты.

а)

Значит x = 0 – вертикальная асимптота.

б)

Значит y=2 – горизонтальная асимптота.

5) ни при каких

6) ни при каких

Построим график функции