Министерство образования Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Очный факультет

(дистанционная форма обучения)

Контрольная работа № 2

по дисциплине

Высшая математика-1

(авторы учебного пособия: Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинников)

Вариант 2.5

Подпись преподавателя____________

2003 г.

Вариант 2.5.

1(Д01.РП). Составьте общее уравнение прямой, проходящей через точку M(1, 4) параллельно прямой 2x + 3y + 5 = 0.

Решение. Точка M, N = (A, B),

- общее уравнение прямой.

В качестве вектора нормали можно принять вектор N = (2, 3) и записать искомое уравнение , или .

Ответ. .

2(3А2.РП). Найдите координаты проекции точки M (3, 6) на прямую x + 2y – 10 = 0.

Решение. Пусть точка S – проекция точки M на данную прямую, можно найти как точку пересечения прямой x + 2y – 10 = 0 и прямой MS (рис.1), перпендикулярной к данной и проходящей через точку M. Прямая MS параллельна вектору N(1, 2) – нормали прямой x + 2y – 10 = 0. В качестве вектора нормали прямой MS можно принять вектор N(-2, 1), а потому уравнение прямой MS имеет вид

, или – 2x + y = 0. Для отыскания координат точки S мы получим систему решая которую, находим x = 2, y = 4.

Ответ. (2, 4).

3(103.БЛ). Запишите общее уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M(), M(), M().

Решение. Данная плоскость параллельна векторам I и I. Поэтому в качестве вектора нормали можно взять вектор N = [I,I] = . Разложим этот определитель по первой строке:

N =, то есть N = (1,–1,– 4). Записываем уравнение плоскости x – y – 4z + D = 0. Для определения D используем условие, что, плоскость проходит через точку M(): –6 – 1 + 20 + D = 0, D = –13. Уравнение x – y – 4z – 13 = 0 является искомым.

(): 7 + 2 + 4 + D = 0, D = –13.

(): 10 + 7 – 4 +D = 0, D = –13.

Следовательно, точки M и M также лежат в этой плоскости.

Ответ. x – y – 4z – 13 = 0.

4(203). Известно, что прямая параллельна вектору I = (0, 9, 12). Найдите длину отрезка этой прямой между плоскостями x + y +z – 3 = 0 и x + y + z – 24 = 0.

Решение. Уравнение прямой , параллельной вектору I = (0, 9, 12) будет . Прямая пересекается с плоскостью x + y +z – 3 = 0, так как и с плоскостью x + y + z – 24 = 0, так как .

Найдем точку пересечения прямой с плоскостями

x + y +z – 3 = 0 и x + y + z – 24 = 0. Для этого сначала запишем уравнение прямой в параметрической форме , , , отсюда , , . Полученные значения подставляем сначала в уравнение плоскости x + y +z – 3 = 0, а затем в уравнение плоскости x + y + z – 24 = 0 и находим значение параметра t.

+ + – 3 = 0,

21t – 3 = 0 .

Следовательно, точка пересечения прямой с плоскостью x + y +z – 3 = 0 будет иметь координаты

,

а точка пересечения прямой с плоскостью x + y + z – 24 = 0 имеет координаты

+ + – 3 = 0 ,

тогда длина отрезка прямой между плоскостями

x + y +z – 3 = 0 и x + y + z – 24 = 0 есть длина отрезка между точками A и B,

.

Ответ. 15.

5(3С2). Некоторая прямая проходит через точку P(2, 2, 1), пересекает ось ординат в точке Q(0, y, 0) и пересекает прямую

Найдите y.

Решение. Условием пересечения двух прямых является равенство (, I, I) = 0. В нашем случае = (2, 2, 1), = (–2, –1, 0), I= (3, 2, 0), I= PQ = (–2, y– 2, –1). Находим (, I, I) = =, , , ; .

Ответ. .

6(7АД). Плоскость содержит прямую и параллельна прямой x – 3 = y – 3 = –2(z – 6). Найдите квадрат расстояния от второй прямой до плоскости.

Решение. Прямая – это каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку M(0, 0, 6) с нормальным вектором лежит на плоскости (плоскость содержит эту прямую), значит, плоскость проходит через точку M(0, 0, 6) с нормальным вектором .

Запишем это уравнение плоскости, используя уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором .

, то есть, имеем уравнение данной плоскости

,

.

Прямая – каноническое уравнение прямой , проходит через точку B(3, 3, 6) с нормальным вектором и параллельна плоскости .

Найдем квадрат расстояния от второй прямой, то есть от прямой до плоскости , так как точка B(3, 3, 6) принадлежит прямой , то используя формулу расстояния от точки до

плоскости

Дадим ответ на поставленный вопрос задания

кв.ед.

Ответ. 6,23 кв.ед.

7(С04.РП). Докажите, что уравнение определяет на плоскости XOY окружность. Найдите ее центр и радиус R. В ответе сначала указать x, y – координаты центра, затем R.

Решение. Окружность с центром в точке (x, y) радиуса R на плоскости можно задать уравнением .

Выделяя полные квадраты:

, .

Видим, что заданная кривая – окружность и центр ее находится в точке C(–3, 5), а радиус .

Ответ. C (–3, 5), R = 7.

8. Дана кривая .

8.1. Докажите, что эта кривая – гипербола.

8.2(325.Б7). Найдите координаты ее центра симметрии.

8.3(Д06.РП). Найдите действительную и мнимую полуоси.

8.4(267.БЛ). Запишите уравнение фокальной оси.

8.5. Постройте данную гиперболу.

Решение. Общее уравнение гиперболы: .

Выделяя полные квадраты, данное уравнение можно записать в виде ,

,

,

или .

Положим, что x= x – 3, y= y – 2. Тогда (8.1).

Данная кривая – гипербола с центром в точке x= x – 3 = 0, y= y – 2 = 0, то есть в точке (3, 2). Из уравнения (8.1) видим, что действительная полуось a = 1, а мнимая b = 2. Уравнением фокальной оси будет прямая, параллельная оси ординат y – 3 = 0 или y = 3.

или y = 2x – 4, y = 8 – 2x – уравнения оси асимптот.

8.5.

9. Дана кривая .

9.1. Докажите, что эта кривая – парабола.

9.2(058.РП). Найдите координаты ее вершины.

9.3(2П9). Найдите значения ее параметра p.

9.4(289.РП). Запишите уравнение ее оси симметрии.

9.5. Постройте данную параболу.

Решение. Выделяя полный квадрат, получаем

, или .

Если положить y= y + 3, x= –x – 1, то уравнение приводится к виду . Сравнивая последнее уравнение с каноническим уравнением параболы, находим, что 2p = 6 и

p = = 3.

Вершина параболы находится в точке (–1, –3).

Уравнение оси симметрии данной параболы имеет вид

, .

9.5.

10. Дана кривая .

10.1. Докажите, что эта кривая – эллипс.

10.2(822.РП). Найдите координаты центра его симметрии.

10.3(470.Б7). Найдите ее большую и малую полуоси.

10.4(941.РП). Запишите уравнение фокальной оси.

10.5. Постройте данную кривую.

Решение. Квадратичную форму приводим к главным осям. Для этого записываем матрицу этой квадратичной формы и находим ее собственные числа и собственные векторы. Записываем и решаем характеристическое уравнение матрицы B:

,

, , , .

Так как , то кривая – эллипс. Находим собственные векторы матрицы B. Для собственного числа получаем систему отсюда . Полагая , найдем единичный собственный вектор . По свойству собственных векторов симметрического оператора второй собственный вектор ортогонален вектору. Выберем вектор . От старого базиса (0, i, j) перейдем к новому базису (0, , ). Матрица перехода имеет вид

, . Старые координаты (x,y) связаны с новыми () соотношениями , , или (*) (по формуле 3.18).

В новой системе координат уравнение данной кривой примет следующий вид: , или . Выделяя полные квадраты, получаем или (**).

Перейдем к новой системе координат (O, , ) по формулам , .Теперь уравнение (**) приводим к виду , . Видим, что

большая полуось b = 4, а малая a = 2, причем, как это следует из (*), ,

.

В системе координат (O, , ) эллипс имеет уравнение . Оси O, O направлены по прямым x + y – 2 = 0, x – y = 0. Координаты точки O, являющиеся центром симметрии эллипса, находим, решая систему Получаем x = 1, y = 1, O(1, 1). Фокальной осью является прямая = 0, x – y = 0.

10.5. Для построения эллипса строим в старой системе новую систему, в которой строим данный эллипс.

Используемые учебные пособия:

1. Магазинников Л.И., Магазинникова А.Л. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – ТМЦ ДО, 2003.

2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – Москва Астрель . АСТ, 2002.