Контрольная работа 2 / 2- 4_Высшая математика_3

1. Составить общее уравнение прямой, если точка Р(2,5) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.

Решение:

Уравнение прямой проходящей через точку О(0;0) P(2;5)

Искомая прямая перпендикулярна данной, поэтому

Тогда искомая прямая

Найдем b

5 = -2/5*2 + b 5 = -4/5 + b b = 5 + 4/5 = 29/5

y = -2x/5 + 29/5

Ответ: y = -2x/5 + 29/5

2. Записать общее уравнение прямой, параллельной прямой 4x + 2у + 5 = 0 и отсекающей от первого координатного угла треугольник площадью 9 кв. ед.

Решение:

Уравнения прямой в нормальном виде. (разделим на -5)

4x + 2у = -5

Площадь равна

S = AB/2 = 9

АВ = 18

Прямые параллельны, поэтому треугольники подобны,

4А = 2В В = 2А

Подставим В в уравнение площади

2А² = 18 А² = 9 А = 3 В = 6

.

Ответ:

3. Записать общее уравнение плоскости, проходящей через точку М(4, - 1, 3) параллельно оси ОХ и перпендикулярной к плоскости х – 3у + 4z – 5 = 0.

Решение:

нормальный вектор искомой плоскости параллельной оси ОХ имеет вид

Нормальный вектор заданной плоскости .

поэтому

Уравнение плоскости, параллельно оси ОХ

0(x-4) + B(y+1) + C(z-3) = 0

4y + 4 +3x – 9 = 0

y = 5/4 – 3z/4

Ответ: y = 5/4 – 3z/4

4. Найти длину отрезка, отсекаемого от оси ординат плоскостью, содержащей прямую и параллельной вектору а = (1, 0, 2).

Решение:

нормальный вектор искомой плоскости.

направляющий вектор заданной прямой,

заданный вектор.

точка, лежащая на прямой и на плоскости.

6(x-1) + 2(y+1) – 3(z+8) = 0

6x + 2y -3x -28 = 0

x = 0, z = 0 => y = 14

Ответ: y = 14

5. Прямая проходящая через точку Р(1, 2, 3) и пересекающая ось аппликат в точке (0, 0, z₀), параллельна плоскости 2х + у + z + 6 = 0. Найти z₀.

Решение:

Уравнение прямой проходящая через две точки и

направляющий вектор

Нормальный вектор параллельной плоскости

По условию

2*1 + 1*2 + 1(3-z₀) = 0 7 – z₀ = 0

z₀ = 7

Ответ: z₀ = 7

6. Найти координаты точки пересечения с плоскостью х = 1 прямой, перпендикулярной плоскости 4х + 2у + 4z + 5 = 0 и пересекающей две заданные прямые х + 1 = у = z и 2х = 2у = z + 4.

Решение:

- направляющий вектор прямой.

- нормальный вектор заданной плоскости.

- нормальный вектор прямой

Запишем в параметрической форме

- направляющий вектор второй прямой

Ее параметрический вид

Т.к. - поэтому в качестве направляющего вектора прямой берем

Следовательно уравнение прямой в параметрическом виде

Условие пересечения двух прямых

1)

-z₀ + x₀ +1 = 0 x₀ – z₀ = -1

2) не перпендикулярен , т.е.

-2y₀ + z₀ +4 = 0 2y₀ - z₀ = 4

x₀ = 1

y₀ = 3, z₀ = 2

Ответ: (1, 3, 2).

7. Найти радиус окружности, если известно, что она касается двух прямых 3х + 4у – 16 = 0 и 3х + 4у + 24 = 0.

Решение.

Расстояние между прямыми равен диаметру окружности, т.к. диаметр и касательная перпендикулярны друг другу.

Выберем любую точку на прямой , например M(0;4) и найдем расстояние от точки М до прямой , по формуле

N(А, В) – направляющий вектор прямой и А= 3, В=4

Тогда, радиус окружности равен

Ответ: 4

8. Дана кривая х² – 4х – 9у² + 72у – 149 = 0.

8.1. Доказать, что эта кривая - гипербола.

8.2. Найти координаты её центра симметрии.

8.3. Найти действительную и мнимую полуоси.

8.4. Записать общее уравнение фокальной оси.

8.5. Построить данную гиперболу.

Решение: 1) x² – 4x – 9y² + 72y – 149 = 0

(x² – 4x +4) – 9(y² - 8y +16) - 4 +144 – 149 = 0

(x – 2)² – 9(y - 4)² = 9

данная линия гипербола

2.) Координаты центра симметрии C(2;4)

3.) Действительная полуось a = 3

мнимая полуось b = 1

4.) Общее уравнение фокальной оси y = 4

5.) Построим гиперболу.

9. Дана кривая х² + 4у = 0 .

9.1. Доказать, что данная кривая – парабола.

9.2. Найти координаты ее вершины.

9.3. Найти значение ее параметра р.

9.4. Записать уравнение ее оси симметрии.

9.5. Построить данную параболу.

Решение:

х² + 4у = 0

y = - х²/4 -х² = 4y

x1 =0, x2 = 0

x1*x2 = 0 – данная кривая парабола

2.) координаты вершин (0, 0).

3.) 2p = 4 p=2

4.) Уравнение оси симметрии x = 0

5.)Построим параболу.

10. Дана кривая 5х² + 8у² + 4ху – 24х – 24у = 0.

10.1. Доказать, что эта кривая – эллипс.

10.2. Найти координаты центра ее симметрии.

10.3. Найти его большую и малую полуоси.

10.4. Записать уравнение фокальной оси.

10.5. Построить данную кривую.

Решение.

B = 5x² + 8y² + 4xy

.

Характеристическое уравнение

, 40 - 5λ - 8λ² – 4 = 0

λ² -13λ +36 = 0

λ₁*λ₂ = 36 > 0 - кривая – эллипс.

λ₁ = 4

x₁ = -2x₂

λ₁ = 9

x₂ = 2x₁

Матрицу Q перехода от базиса к .

Матрица перехода имеет вид , .

В новой системе координат уравнение данной кривой примет следующий

вид:

действительная полуось a = 3

мнимая полуось b = 2

В системе координат эллипс имеет уравнение:

Решая систему x₂ = 0, y₂ = 0 найдем координаты нового начала O₁ в старой системе координат

Построим кривую.

Уравнение фокальной оси

x + 2y -4 = 0

Изученная литература:

1. Высшая Математика 1 Л.И. Магазинников.

2. Курс высшей математики О.В. Мантуров, Н.М. Матвеев.

3. Справочник по математике А.А. Рывкин, А.З. Рывкин, Л.С. Хренов