Министерство высшего образования РФ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра программное обеспечение вычислительной техники и АСУ

Контрольная работа №

По дисциплине «Высшая математика-1»

Вариант №6

Выполнил:

студент ТМЦДО

Принял:

Задача №1

Записать общее уравнение прямой, проходящей через точку М(2,4) перпендикулярно прямой 3x+4y+5=0

Решение:

Так как прямые перпендикулярны то или А₁=В₂ и В₁= -А₂

Следовательно, новое уравнение будет иметь вид: 4x-3y+C=0

Подставив координаты, точки М в данное уравнение найдем С.

Ответ:

Задача №2

Составить уравнения прямых, проходящих через точку Р(3,5) на одинаковых расстояниях от точек А(-7,3) и В(11,-15). В ответ ввести уравнение той прямой, которая отсекает от осей координат треугольник, расположенный в первой четверти.

Решение:

Зададим условия.

1)

2)

3)

Проверим условия.

1)

2)

3)

Ответ:

Задача №3

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(4,2,1) и М₂(3,3,2) параллельно вектору АВ=(4,-3,-2).

Решение:

Найдем координаты вектора М₁М₂

М₁М₂=(-1,1,1)

В качестве вектора нормали возьмем N=(AB, М₁М₂)

Уравнение плоскости можно записать в виде

Подставив значения N, в уравнение вычислим D.

Отсюда D=7

Отсюда D=7

Общее уравнение плоскости будет иметь вид.

Ответ:

Задача №4

Найти координаты проекции начала координат на прямую.

Решение:

Запишем параметрическое уравнение прямой.

Положим x=t и выразим из уравнения неизвестные y и z через t.

Направляющий вектор N=(4,3,-2) можно принять в качестве вектора нормали плоскости П.

Запишем уравнение плоскости П: ; поскольку координаты проекции равны (0,0,0) то D=0 и уравнение плоскости примет вид

Подставив в уравнение плоскости, данные параметрического уравнения, найдем t.

Теперь подставив t в параметрическое уравнение найдем координаты проекции начала на прямую.

Координаты проекции начала координат на прямую будут равны Q=(1,-2,-1)

Ответ:

Q=(1, -2, -1)

Задача №5

При каком значении параметра С прямая

Параллельна плоскости .

Решение:

Так как прямая параллельна плоскости, то данное выражение можно записать в матричной форме и вычислить С.

Отсюда С=2

Ответ:

С=2

Задача №6

Две грани куба лежат на плоскости и . Вычислите объем куба.

Решение:

По уравнению находим площадь плоскости.

Так как и грани куба лежат на одной плоскости то уравнение можно заменить на подставив в уравнение данные плоскости получим

Отсюда

Ответ:

V=125

Задача №7

Доказать, что уравнение определяет сферу. Найти координаты её центра и радиус R. В ответ записать четверку чисел .

Решение:

Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты

Следовательно, данное уравнение определяет сферу с центром в точке и радиусом

Ответ:

С=(2,-3,4); R=8

Задача №8

Дана кривая

8.1. Доказать что эта кривая – эллипс.

8.2. Найти координаты центра его симметрии.

8.3. Найти его большую и малую полуоси.

8.4. Записать уравнение фокальной оси.

8.5. Построить данную кривую.

Решение:

8.1

Преобразуем данное уравнение выделив полные квадраты;

Приведем к каноническому уравнению.

; ;

Из последнего уравнения видно что это эллипс.

8.2

Из последнего уравнения находим координаты его центра симметрии.

8.3

Полуоси будут равны:

8.4

Фокальная ось будет равна: x = 7

8.5

Задача №9

Дана кривая .

9.1. Доказать, что данная кривая – парабола.

9.2. Найти координаты ее вершины.

9.3. Найти значение ее параметра р.

9.4. Записать уравнение ее оси симметрии.

9.5. Построить данную параболу.

Решение:

9.1

Выделяя полный квадрат получим; отсюда уравнение примет вид

Положим то уравнение приводится к виду

9.2

Вершина параболы (8,0)

9.3

Сравнивая выражение с каноническим уравнением параболы, видим, что 2р=14 отсюда p=7

9.4

; ; ;

так как x=8 то (8-8)=0

9.5

Задача №10

Дана кривая

10.1. Доказать что эта кривая – гипербола.

10.2. Найти координаты ее центра симметрии.

10.3. Найти квадраты ее действительной и мнимой полуосей.

10.4. Записать общее уравнение фокальной оси.

10.5. Построить данную гиперболу.

Решение:

Для облегчения расчетов данного уравнения можно умножить все его части на 2, при этом уравнение и график этого уравнения не изменятся. В итоге, умножив его на 2, мы получим уравнение вида; этим уравнением мы и будем пользоваться при наших дальнейших расчетах.

Приведя данное уравнение, к квадратичной форме получим.

Запишем матрицу квадратичной формы.

Определим тип кривой. Для этого составим характеристическое уравнение матрицы квадратичной формы.

По формуле или где . Найдем корни характеристического уравнения матрицы квадратичной формы B:

Так как то данное уравнение определяет гиперболу.

Находим собственные векторы матрицы B. Для собственного числа получаем систему отсюда

Эта система имеет бесконечное множество решений.

Возьмем любое целочисленное решение этой системы, например: тогда собственный вектор матрицы B равен (1,1)

Найдем координаты орта . По свойству собственных векторов симметричного оператора второй собственный вектор ортогонален вектору . Выберем вектор таким образом, чтобы базис был правым. От старого базиса перейдем к новому базису .Матрица перехода имеет вид ,

Старые координаты связаны с новыми соотношениями , или

В новой системе координат уравнение данной кривой примет следующий вид:

Приведем подобные.

Выделим полные квадраты.

Примем а тогда в новой системе координат гипербола имеет уравнение

Отсюда видим что действительная полуось a=1 а мнимая

Оси направлены по прямым и

Решая систему уравнений найдем начало координат. Эта точка будет 0₁(-2,1) Фокальной осью является прямая