Контрольная работа 2 / 2- 4.5_Высшая математика
.doc
Томский
межвузовский центр дистанционного
образования
Томский
государственный университет
систем управления
и радиоэлектроники (ТУСУР)
Контрольная
работа № 2
вариант 4.5
по дисциплине
«Высшая математика»
(Учебное пособие
«Высшая математика. Введение в
математический анализ. Дифференциальное
исчисление »,
авторы Магазинников
Л. И., Магазинникова А.Л., 2003 г.)
Выполнил:
студент ТМЦДО
2010 г.
1. Найдите производные от данных функций:
а)
б)
в)
2. Дана функция
.
Найдите y''.
Вычислите y''(1).
3. Дана функция
.
Найдите f '(x)
и f ''(x).
Вычислите f
'(π/6) и f
''(π/6).
4. Докажите, что функция
удовлетворяет уравнению
.
Подставляя полученные значения в заданное уравнение, получаем тождество:
что и требовалось доказать.
5. Дана функция
.
Найдите
.
Вычислите
.
В ответ введите сумму элементов матрицы
.
Сумма элементов матрицы равна: 2-1+1+1=3.
6. Дана функция
.
Найдите:
а) координаты вектора grad
u в точке M
;
б)
в точке М в направлении
вектора a
{4,-2,4}.
Находим
.
Орт вектора а:
.
Тогда
.
7. Найдите
,
если
.
Вычислите
,
если
.
8. Функция z = z(x,y) задана неявно уравнением xyz = x+y+z.
Вычислите: а)
;
б)
.
Запишем данное уравнение в виде:
В точке (1,-2) имеем:
9. На графике функции
взята точка А. Касательная
к графику в точке А наклонена
к оси OX под
углом, тангенс которого равен 5. Найдите
абсциссу точки А.
Производная данной функции:
Тангенс угла наклона касательной к графику функции равен значению производной функции в точке касания. Получаем:
10. Найдите dy,
если
.
Вычислите значение dy
, если x = 2,5;
Δx = 0,02.
11. Дана функция
и точки
и
.
Вычислите Δz
и dz при переходе
из точки
в точку
(ответы округлить до сотых).
12. Дана функция
.
Найдите её наибольшее и наименьшее значение на отрезке [0,4].
- точка локального экстремума,
Значения функции на концах данного отрезка:
Следовательно, наименьшее значение
функция имеет на концах отрезка
,
наибольшее значение функции
.
13. Дана функция
.
Найдите её наибольшее и наименьшее
значения на замкнутом множестве,
ограниченном прямыми x
= 0, y = 0, x
= 1, y = 2.
О
пределим
стационарные точки из системы:
Точка М1 (-4,6) не принадлежит заданной области D (рис.1).
Значения функции z(x,y) в точках A,B,C,O:
На границе x = 0: z(x,y)= z(0,y)=8y, z' = 8 – на отрезке [0,2] критических точек нет.
На границе y = 0: z(x,y)= z(x,0)= x2 - 4x, z' = 2x – 4 - критическая точка x = 2 не принадлежит отрезку [0,1] и не принадлежит заданной области D.
На границе x = 1: z(x,y)= z(1,y)= 1+2y - 4+8y = 10y - 3, z' = 10 – критических точек нет.
На границе y = 2: z(x,y)= z(x,2)= x2 +4x – 4x+16 = x2 +16, z' = 2x
- критическая точка x = 0 - точка С(0б2)
Наибольшее значение функции в заданной области равно 17, достигается в точке B(1,2). Наименьшее значение функции в заданной области равно -3, достигается в точке A(1,0).
14. Проведите полное исследование
функции
и начертите её график.
1) Область определения функции
,
область значений функции
.
2) Так как f(-x)=f(x), то функция чётная, график ее симметричен относительно оси OY.
3) Функция непериодическая, функция общего вида.
4) Функция непрерывна на всей числовой
оси, кроме точки x=0,
где она терпит разрыв второго рода,
т.к.
,
прямая x=0 –
двусторонняя вертикальная асимптота.
5) Наклонные асимптоты y = kx+b:
прямая y = 2 – горизонтальная асимптота.
6) Находим
,
критическая точка x=0
- точка разрыва.
- промежуток возрастания функции;
- промежуток убывания функции.
Минимумов и максимумов функции не имеет.
7) Находим
,
критическая точка x=0.
Функция выпукла вверх
,
точек перегиба нет.
8) Точки пересечения с осями:
c осью OX:
c осью OY пересечения нет
9) На основании расчетов строим график (рис.2).
Рис.2