3. Записать общее уравнение плоскости, проходящей через точки м1 (7;2;-3) и м2 (5;6;-4) параллельно оси Оу.

Решение.Данная плоскость параллельна векторамl₁=М₁М₂= (-2;4;-1) иl₂= (0;1;0) =j,

поэтому ее вектор нормалиN=[l₁,l₂]==i- 2k|| (1;0;-2). Записываем уравнение плоскости: х - 2z+D= 0. Т.к. плоскость проходит через точку М (7;2;-3), то 7 + 6 +D= 0, отсюдаD= -13. Искомое уравнение имеет вид:

x- 2z- 13 = 0.

Ответ.x- 2z- 13 = 0.

4. Найти коэффициент В в уравнении плоскостиx + By + Cz + D = 0, проходящей через точки Р(1;-1;1), О(0;0;0) параллельно прямой x = 0,

4y + 3z = 0.

Решение.Данные прямая и плоскость могут быть параллельны только в том случае, если нормаль к плоскости будет перпендикулярна направляющему вектору прямой. Нормаль к плоскости есть векторN(1;В;С). Направляющий векторlпрямой можно найти из параметрического уравнения:

x= 0,

y= -3t,

z= 4t.

Следовательно, l(0;-3;4), а[N, l]= -3В + 4С +D= 0, гдеD= 0.

Уравнение плоскости выразим через коэффициенты В и С, подставив вместо x,yиzкоординаты точки Р (1;-1;1). Получим: 1 - В + С =0.

Составляем систему и находим искомые коэффициенты:

-3В + 4С = 0,

1 - В + С = 0.

Отсюда В = 4, С = 3.

Ответ.В = 4.

5. При каких значениях параметров А₁ и А₂ прямая А₁ + 3y - 5z = 0,

A₂ + 2y + 3z = 0

параллельна прямой x - 19z + 19 = 0,

y + 11z - 11 = 0. Ответ записать в виде пары чисел (А₁, А₂).

Решение.

Способ 1-й.Две прямые могут быть параллельны в том случае, если параллельны их направляющие векторыl₁иl₂, т.е. когда их координаты пропорциональны. Направляющие векторы данных прямых можно найти как векторное произведение нормалей к заданным плоскостям. Для первой прямой получаем:N₁= (А₁;3;-5),N₂= (А₂;2;3), а их векторное произведение:

[N₁,N₂] = l₁ = =i19 -j(3А₁ + 5А₂) +k(2A₁- 3A₂) = (19;-3А₁-5А₂;2А₁-3А₂).

Для второй прямой: N₃= (1;0;-19),N₄= (0;1;11), а их векторное произведение:

[N₃,N₄] = l₂ = =i19 - j11 + k = (19;-11;1). Составляем пропорцию:

==, отсюда видно, что коэффициент пропорциональности равен 1. Составим систему и найдем искомые параметры:

- 3А₁- 5А₂= -11,

2А₁- 3А₂= 1. А₁= 2, А₂= 1.

Выполним проверку. Подставим найденные параметры в исходное уравнение, найдем координаты направляющих векторов для обеих прямых: l₁= (19;-1;11),l₂= (19;-1;11). Их координаты пропорциональны, следовательноl₁ || l₂, а значит параллельны и прямые этих векторов. Параметры найдены верно.

Способ 2-й.Координаты направляющих векторов можно найти из параметрических уравнений данных прямых. Для первой прямой уравнение имеет вид:

x=t +,

y = t -,

z=t.

Отсюда l₁= (;;1). Для второй прямой:

x= 19t- 19,

y= -11t+ 11,

z=t,

Отсюда l₂= (19;-11;1). Из отношений одноименных координат векторовl₁иl₂видно, что коэффициент пропорциональности равен 1. Составляем систему:

= 19,

= -11. А₁= 2, А₂= 1.

Ответ.(2,1).

6. Найти длину отрезка, отсекаемого от оси аппликат плоскостью, содержащей прямую x+ 3 = = и отсекающей на осях абсцисс и ординат одинаковой длины отрезки.

Решение. Известно, что общее уравнение плоскости имеет вид Ах + Ву +Cz+D= 0. В данной задаче предполагается, чтоD≠ 0, т.к. по условию плоскость не проходит через начало координат. В точке пересечения плоскости с осью Ох координатыyиzобращаются в нуль. Тогда в этой точке уравнение плоскости имеет видAx+D= 0, отсюдаx=. При пересечении плоскости с осьюOyкоординатыxиzобращаются в нуль, и тогда уравнение плоскости принимает видBy+D= 0,y=. Т.к. по условию |x| = |y|, то=, причем А ≠ 0, В ≠ 0. Отсюда |A| = |B| (приD≠ 0). Из последнего равенства следует, что

А = В, и (6.1)

А = -В (6.2)

(по определению модуля).

Т.к. плоскость содержит прямую x+ 3 == , то все точки, лежащие на этой прямой, удовлетворяют и данной плоскости. Найдем две такие точки. М₁ (-3;-3;6) и М₂(-2;2;10). Подставляя координаты точек в общее уравнение плоскости, получим еще два уравнения для нахождения коэффициентов А, В и С: -3A- 3B+ 6C+D= 0, и -2A+ 2B+10C+D= 0. Учитывая (6.1) и (6.2), получим две системы уравнений:

А = В, А = -В,

-3A - 3B + 6C + D = 0, -3A - 3B + 6C + D = 0,

-2A + 2B +10C + D = 0, и -2A + 2B +10C + D = 0.

Решая первую систему относительно А, В и С, получаем: А = ,B=,C=. Подставляя найденные значения коэффициентов в общее уравнение плоскости, получим:

x + y z + D = 0, x + y - 1,5z + 15 = 0.

В качестве проверки можно найти скалярное произведение вектора нормали N(1;1;-1,5) этой плоскости и направляющего вектораl(1;5;4) прямой. Если уравнение найдено верно, то (N,l) = 0. Проверим: 1ּ1 + 1ּ5 + (-1,5)ּ4 = 0. Уравнение найдено верно. Данная плоскость пересекает осьOzв точке (0;0;10), т.е. длина отрезка, отсекаемого плоскостью на осиOzравна 10.

Решая вторую систему относительно А, В и С, получаем: А = , В =,C=. Подставим найденные коэффициенты и найдем искомое уравнение:

x + y z + D = 0, x - y + z - 6 = 0.

Проверка: (N,l) = 1ּ1 + (-1)ּ5 + 1ּ4 = 0. Уравнение найдено верно. Длина отрезка, отсекаемого плоскостью на осиOzравна 6.

Ответ.z= 10, либоz= 6.

7. Найдите уравнение касательной плоскости к сфере x² + y² + z² - 8x + 6y + 4z - 12 = 0 в точке М₀ (1;1;2).

Решение.Положение плоскости в пространстве определяется заданием ее вектора нормали и какой-нибудь точки, лежащей в этой плоскости. За вектор нормали примемСМ₀, где точка С - центр сферы, М₀(1;1;2). Выделим полные квадраты уравнения: (x- 4)²+ (y+ 3)²+ (z+ 2)²= 12 + 16 + 9 + 4, (x- 4)²+ (y+ 3)²+ (z+ 2)²= 41. Следовательно, С (4;-3;-2), тогдаСМ₀(-3;4;4). Поэтому искомое уравнение имеет вид: -3x+ 4y+ 4z- ((-3)ּ1+4ּ1+4ּ2) = 0, -3x+ 4y+ 4z- 9 = 0.

Ответ.-3x+ 4y+ 4z- 9 = 0.

8. Дана кривая 4x² - 32x - y² +6y + 51 = 0. (8.1)