Министерство образования рф.

Томский университет систем управления

и радиоэлектроники (ТУСУР).

Контрольная работа №2

по дисциплине «Высшая математика-2».

Выполнил:

Проверил:

_____ «___________»

«____» ____ 200__ г

^{вариант9}

1. Даны координаты вершин треугольника А (3;4), В (-1;2) и С (2;-1). Записать общее уравнение средней линии треугольника, параллельной ВС.

Решение.Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. В данной задаче это стороны АВ и АС. Пусть серединой АВ является точка М, а серединой АС - точка К. Тогда их координаты определяются по формулам:

x=;y= (1.1)

Получаем: М (1;3), К (2,5;1,5). Необходимо найти уравнение прямой, проходящей через эти точки. Приведем четыре способа решения данной задачи.

Способ 1-й.Отрезок МК параллелен векторуМК(1,5;-1,5) и перпендикулярен векторуN(1;1), который можно принять в качестве вектора нормали отрезка МК. Общее уравнение прямой имеет вид:Ax+By+C= 0, гдеC= -Ax₀-By₀. Здесь коэффициенты А, В определяют координаты вектораN,x₀,y₀- координаты одной из точек, лежащих на отрезке МК. Примемx₀,y₀за координаты точки К запишем искомое уравнение:

x+y- (2,5 + 1,5) = 0, или

x+y- 4 = 0.

Способ 2-й.Уравнение прямой МК будем искать в виде у =kx+b. Для этого необходимо найти значенияkиb. Т.к. прямая МК проходит через точки М и К, то

3 =k+b,

1,5 = 2,5k+b.

Решая систему, находим: k= -1, b = 4. Тогда уравнение прямой можно записать в виде у = -х + 4, или х + у - 4 = 0.

Способ 3-й.Уравнение прямой МК можно записать в виде=. У нас:x₀= 1,y₀= 3,x₁= 2,5,y₁= 1,5.Тогда=, или 1,5(у - 3)=-1,5(х - 1), отсюдаx+y- 4 = 0.

Способ 4-йи самый легкий. Т.к. прямая ВС || МК (по условию), то вектор, перпендикулярный одной прямой, перпендикулярен и другой. ВекторВСимеет координаты (3;-3), значит векторN(1;1). В качестве х₀и у₀примем координаты точки М (1;3) и найдем искомое уравнение:x+y- (1ּ1+1ּ3) = 0,x+y- 4 = 0.

Ответ.x+y- 4 = 0.

2. В прямоугольном треугольнике АВС известны: уравнение медианы 3x - 4y + 8 = = 0, проведенной из вершины А (0;2) прямого угла, и вершина В (2;1). Найти координаты (x_0;y₀) вершины С треугольника.

Решение.

Способ 1-й.Т.к. по условию задачи точка С имеет координаты х₀, у₀, то координаты точки М, - середины отрезка ВС, определяются по формулам (1). Находим: М (;). Для отыскания координат точки С составим систему из двух уравнений. Первое - для прямой АС, второе - для медианы АМ. Точка С лежит на прямой АС, которой перпендикулярен векторАВ(2;-1). Поэтому уравнение для АС можно записать в виде 2x-y- (2ּ0 - 1ּ2) = 0, 2x-y+ 2 = 0. В уравнение АМ для медианы подставим значения координат точки М, выраженные через координаты точек В и С. Получаем систему:

2x₀-y₀+ 2 = 0,

3ּ- 4ּ+ 8 = 0, или

2x₀-y₀+ 2 = 0,

1,5x₀- 2y₀+9 =0. Отсюда находим: х₀= 2, у₀= 6.

Способ 2-й.Задачу можно решить и без уравнения медианы. Координаты точки С можно найти как точку пересечения прямых, например, АС и ВС. В этом случае получаем систему:

2x₀-y₀+ 2 = 0,

х₀= 2. (прямая ВС || оси Оу).

Ответ.С (2;6).