Добавил:

Oksana Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Контрольная работа 2 / 2-10_Высшая математика_2

.doc

Скачиваний:

121

Добавлен:

22.06.2014

Размер:

307.2 Кб

Скачать

☆

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ

УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Контрольная работа №1

По дисциплине «Высшая математика»

Вариант № 1.10

Учебное пособие: Магазинников Л.И., Магазинников А.Л. «Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия» - Томск 2003.

Выполнил:

Студент ТМЦДО

Специальность

Томск

Задание №1:

В прямоугольном треугольнике даны: вершина острого угла А(7,-2) и уравнение 3x-5y+15=0 одного из катетов. Записать общее уравнение другого катета.

Решение: В качестве вектора нормали другого катета, можно принять любой вектор перпендикулярный вектору , например вектор

По формуле находим общее уравнение другого катета.

или

Ответ: Общее уравнение другого катета

Задание №2:

Высота, проведенная из вершины А(4,4) треугольника АВС, пересекает прямую ВС в т.D (1,1). - уравнение высоты, опущенной из вершины В. Определить координаты вершины С.

А С

Решение:

Находим общее уравнение прямой ВС:

Нормалью к ВС является AD (1-4,1-4)=(-3,-3); D(1,1)-точка лежащая на прямой ВС

-3x-3y-(-3∙1-3∙1)=0

-3x-3y+6=0;

Находим общее уравнение прямой АС:

В качестве вектора нормали можно взять любой вектор перпендикулярный вектору (1,2), например вектор (2,-1). Т.к. у высоты x+2y+1=0 опущенной из точки В вектор нормали равен (1,2)(2,- 1).

Следовательно нормаль к прямой АС будет (2,-1). А (4,4) является точкой на прямой АС→ AC

2x-y-(2∙4-1∙4)=0

2x-y-4=0;

Точка С находится на пересечении прямых АС и ВС. Для отыскания координат точки С , составим систему:, решаем данную систему.

, находим 2х-у-4=2∙(2-у)-у-4=0; -3у=0; у=0; х=2.

Ответ: координаты точки С (2,0).

Задание №3: Запишите общее уравнение плоскости, которая проходит через точку

М(1,2,3) и ось oy .

Решение:

Уравнение оси OY x = z = 0.

На оси OY берём две точки.

O(0; 0; 0), A(0; t;0), Находим уравнение этой плоскости.

= = (x – 1) - (y – 2) + (z – 3)=(x – 1)(6 +3t – 6) – 0 + (z –3)(- t +2 – 2) = 3tx – 3t –3zt + 3t = 3tx – 3zt = 0.

Ответ: t(3x – z) = 0

Задание №4: Найдите значение параметра m в уравнении прямой , если известно, что эта прямая параллельна плоскости х+4у+3z+5=0.

Прямая задана уравнением , следовательно, направляющий вектор N (0, m, 18).

L=║(0,-18,m ).

По условию задачи вектор L параллельный плоскости х+4у+3z+5=0,

следовательно он перпендикулярен вектору N=(1,4,3). Поэтому (L,N)=0.

0∙1+(-18)∙4+m∙3=0

3m=72

m =24 .

Ответ: m=24.

Задание №5:

Найдите длины отрезка, отсекаемого от оси аппликат плоскостью, проходящей через точки P₁(2, 1, 0), P₂(1, 0, 4) и пересекающей оси ординат и абсцисс в точках A₁(0, A, 0), A₂(A, 0, 0).

Решение: Найдем уравнение данной плоскости. Плоскость проходит через точки

Р(2,1,0) и Р(1,0,4), значит параллельна вектору L=РР=(-1,-1,4), и пере-

секает точки А(0,а,0) и А(а,0,0), т.е. также параллельна вектору L=АА=

=(а,-а,0), поэтому ее вектор нормали:

N==4ai+4aj+2ak║(2a,2а,1а).

Записываем уравнение плоскости.

2ах+2ау+аz+D=0

Так как плоскость проходит через точку Р₁(Р₂), то

2а∙1+2а∙0+а∙4+D=0

2a+4a+D=0

6a+D=0

D=-6a искомое уравнение плоскости: .

Данная плоскость параллельна OZ и отсекает от нее отрезок. Длину отрезка найдем по формуле:

, если С≠0, то

Ответ: длина отрезка M равна 6.

Задание №6:

Найдите координаты точки пересечения прямой с плоскостью, содержащей прямые:.

Решение: Согласно формуле канонического уравнения прямой:

, направляющий вектор этой прямой L=(m,n,p) и точка на

ней М(х,у,z), тогда:

прямой == соответствует направляющий вектор L=(2,3,4) и точка М(1,0,-1).

прямой == соответствует направляющий вектор L=(2,3,4) и

точка М(1,1,1).

Плоскость проходит через точку М₀, М₁, она параллельна вектору М₀М₁(0,1,2) и параллельна L(2,3,4), в качестве вектора нормали возьмем вектор N.

N=[L,L₁]= уравнение плоскости имеет вид:, так как плоскость проходит через точку М₀(М₁), то подставив в уравнение плоскости координаты одной из точек получим:

1∙1-2∙1+1∙1+D=0, - искомое уравнение плоскости.

Используя параметрический вид уравнения прямой , получим параметрическое уравнение данной прямой:

найдем значение t₀, при котором прямая пересекает найденную плоскость. Точка М (3t₀,12t₀,t₀) лежит в данной плоскости и ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, 3t₀-2∙12t₀+t₀=0, -20t₀=0, t₀=0.

Подставим значение t₀в параметрическое уравнение прямой и находим точку пересечения прямой и плоскости: М (0,0,0).

Ответ: точка пересечения имеет координаты (0,0,0).

Задание №7:

Найти радиус сферы с центром в точке С(-1,-2,3), если она касается плоскости

2x-2y+z+10=0.

Решение: Радиус сферы с центром в точке С равен расстоянию от точки С до плоскости

. Из уравнения плоскости имеем:.

Координаты точки С: , получим:

Ответ: R=5

Задание №8:

Дана кривая .

8.1 Доказать, что эта кривая – эллипс.

8.2 Найти координаты его симметрии.

8.3 Найти его большую и малую полуоси.

8.4 Записать уравнение фокальной оси.

8.5 Построить данную кривую.

Решение: преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты:

введем новые переменные: , тогда - эллипс.

Центр симметрии находится в точке , большая полуось а=3, малая полуось b=2.

Уравнение фокальной оси

1 7

Задание №9:

Дана кривая y²-4y+10x+14=0. Доказать, что данная кривая – парабола. Найти координаты её вершины. Найти значение её параметра p. Записать уравнение её оси симметрии. Построить данную параболу.

Задание №9: Дана кривая У-4У+10Х+14=0.

9.1 Докажите, что данная кривая- парабола.

9.2 Найдите координаты ее вершины.

9.3 Найдите значение ее параметра Р.

9.4 Запишите уравнение ее оси симметрии.

9.5 Постройте данную параболу.

Решение:

(9,1)Так как c = 1. a = b = 0. то кривая парабола.

Y² – 4y +4 –4 +10x+14=0, ( = ac –b²=0, 0∙1-0=0).

(9,2) (y-2)²+10x+10=0, (y-2)²= - 10(x+1).

Y=2 x=-1 0(-1;2).

(9,3) В системе x₁,0_1,y₁, уравнение параболы (y₁)²= -10x, общий вид параболы y² = - 2px отсюда

следует p = -5.

(9,4) Ось симметрии y = 2.

(9,5) График:

Задание №10:

Дана кривая .

10.1Докажите, что эта кривая – гипербола.

10.2Найдите координаты ее центра симметрии.

10.3Найдите действительную и мнимую полуоси.

10.4Запишите уравнение ее фокальной оси.

10.5 Постройте данную гиперболу.

Решение: (10,1) Приведем квадратичную форму: к главным осям. Матрица квадратичной формы имеет вид: . Записываем характеристическое уравнение этой матрицы: