Контрольная работа 2 / 2-13_Высшая математика-1

Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра промышленной электроники (ПрЭ)

Контрольная работа № 2

Вариант №13

по дисциплине «Высшая математика-1»

(Л.И.Магазинников, А.Л.Магазинникова )

Выполнил:

студент ТМЦДО

гр.: __________

специальности __________

________________________

«___» _________ 200_ г.

__________________

2009 г

Задача №1

Составить общее уравнение прямой, проходящей через точку А(7; 4), перпендикулярно прямой 3х – 2у + 4=0

Решение:

В качестве вектора нормали прямой l, можно принять любой вектор, перпендикулярный вектору N₁ (3; -2), например вектор N₂ (2; 3), (N₁, N₂) = 0.

Запишем искомое уравнение:

2х + 3у – (2*7 + 3*4) =0

2х + 3у – 26 =0

Ответ: 2х + 3у – 26 =0

Задача №2

Составить общее уравнение прямой, проходящих через точку А(4; 3) и точку пересечения прямых 2х + 5у – 8 =0 и х – 3у + 4 =0.

Решение:

Уравнение пучка прямых, проходящее через точку пересечения прямых Ах + Ву + С =0 и А₁х + В₁у + С₁ =0, записывается так

Ах + Ву + С + λ(А₁х + В₁у + С₁)=0,

В моем случае оно будет иметь вид:

2х + 5у – 8 + λ(х – 3у + 4) =0

Из этого пучка надо выделить прямую, проходящую через точку А(4; 3). Подставляя в уравнение координаты точки А(4; 3), вместо текущих координат, получим:

2*4 + 5*3 – 8 + λ*(4 – 3*3 + 4) = 0

8 + 15 – 8 + λ*(4 – 9 + 4) = 0

15 – λ = 0

λ = 15

Подставив полученное значение λ в уравнение, будем иметь

2х + 5у – 8 + 15(х – 3у + 4) =0

2х + 5у – 8 + 15х – 45у + 60 =0

17х – 40у + 52 =0

Ответ: 17х – 40у + 52 =0

Задача №3

Написать общее уравнение плоскости, проходящий через точки М₁(4; -3; 3) и М₂(1; 1; -2) перпендикулярно плоскости х – 3у + 5z – 19 = 0.

Решение:

Искомая плоскость параллельна вектору L₁ = (1; -3; 5) нормали данной плоскости и вектору L₂ = М₁М₂ = (-3; 4; -5), поэтому вектор нормали N искомой плоскости находится из условия:

N = [L₁, L₂ ] =

N = ( 1, 2, 1)

Уравнение плоскости можно записать в виде х + 2у + z + D = 0

Так как плоскость проходит через точку М₁ (или М₂), то подставив в уравнение координаты точек вычислим D.

4 + 2*(-3) + 3 + D = 0; Отсюда D=-1

1 + 2 – 2 + D = 0; Отсюда D= -1

Общее уравнение плоскости будет иметь вид : х + 2у + z – 1 = 0

Ответ: х + 2у + z – 1 = 0

Задача №4

Найти расстояние от точки А(2; -1; 0) до прямой

Решение:

Расстояние от точки А до прямой в пространстве определяется по формуле

Ответ: d=3

Задача №5

Найти те значения параметров и , при которых прямые и параллельны.

Решение:

Найдем направляющий вектор для 1 прямой:

Найдем направляющий вектор для 2 прямой:

Прямые будут параллельны когда:

l₁=kl₂

В моем случае к= 1

А=0, В=-1

Ответ: А=0, В=-1

Задача №6

Прямая параллельна плоскости , пересекает прямую и проходит через точку . Найти ординату точки пересечения прямой с плоскостью .

Решение:

1. Составим уравнение прямой так как прямая проходит через точку, то уравнение имеет вид

2. Найдем m, n, k.

Так как прямая параллельна плоскости , то используя условие параллельности прямой и плоскости имеем:

3. Прямая пересекает прямую , то используя необходимое и достаточное условие пересечения 2-х прямых в пространстве

, если , имеем.

Пусть x₁=2, у₁=-4, z₁=1

x₂=3, у₁=-2, z₁=-4

m₁=3, n₁=-2, k₁=2

m₂=m, n₂=n, k₂=k, то

, => 6m+17n+8k=0

Получаем систему

Из первого уравнения 3m=2n+3k =>

Из второго уравнения

Следовательно: =

4n + 6k = –8k – 17n

14k = –21n

k= –1,5n,

Подставим полученное значение уравнение получаем , где

Следовательно прямая имеет уравнение

или (прямая )

4. Найдем ординату точки пересечения прямой с плоскостью

Пусть; ;

; у= t – 2; z= – 1,5t – 4

Подставив x, y, z в уравнение плоскости

–8t=72

t=–9

Тогда ордината точки пересечения прямой с плоскостью будет равна

y= –9 – 2 = –11

Ответ: y= –11

Задача №7

Найти радиус окружности, имеющей центр в точке А(6;7), если она касается прямой 5x – 12y – 24 = 0.

Решение:

Приведем уравнение прямой к нормальному виду. Нормирующий множитель

Уравнение прямой в нормальном виде запишется так:

Согласно правилу, возьмем теперь левую часть этого уравнения и подставим в нее координаты данной точки А(6;7). Абсолютная величина полученного числа и даст искомый расстояние, т.е радиус окружности:

Ответ: R=6

Задача №8

Дана кривая 4x² + y² – 40x + 4y + 88 = 0

1. Доказать, что кривая – эллипс;

2. Найти координаты центра его симметрии;

3. Найти его большую и малую полуось;

4. Записать уравнение фокальной оси;

5. Построить данную кривую.

Решение:

1. Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты:

(4x² – 40 x + 100) + (y² + 4y + 4) +88 – 104 = 0

(2x – 10)² + (y +2)² – 16 = 0

2(x – 5)² + (y +2)² = 16

Приведем к каноническому уравнению:

; ;

Из уравнения видно, что это эллипс.

2. Из последнего уравнения находим координаты его центра симметрии:

x = 5 y = -2

3. Полуоси будут равны: а=4; b=2

4. Фокальная ось будет равна x = 5

2

1

-2

-4

Y

0 1 2 4 5 6 8 9

Х

Задача №9

Дана кривая .

1. Доказать, что данная кривая парабола;

2. Найти значение её параметра р

3. Найти координаты её вершин;

4. Написать уравнение её оси симметрии;

5. Построить данную параболу.

Решение:

Преобразуем данное уравнение

х²+6х+12у+33=0

х²+2*3х+(3)²+12у+33 – (3)²=0

(х+3)²+12у+24=0

(х+3)²= – (12у+24)

(х+3)²= 2*-6*(у+2) – уравнение параболы х²=2ру

Значение параметра р=-6

Фокус находится от вершины параболы на расстоянии р/2=-6/2=-3

Вершина параболы является т О₁(-3, -2)

Уравнение оси симметрии х=-3

Y

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

O

Х

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

О₁

Задача №10

Дана кривая

1. Доказать что эта кривая – гипербола;

2. Найти координаты ее центра симметрии;

3. Найти ее действительную и мнимую полуоси;

4. Записать общее уравнение фокальной оси;

5. Построить данную гиперболу.

Решение:

Приведя данное уравнение, к квадратичной форме получим.

Запишем матрицу квадратичной формы.

Определим тип кривой. Для этого составим характеристическое уравнение матрицы квадратичной формы.

По формуле или где . Найдем корни характеристического уравнения матрицы квадратичной формы B:

Так как то данное уравнение определяет гиперболу.

Находим собственные векторы матрицы B. Для собственного числа получаем систему отсюда

Эта система имеет бесконечное множество решений.

Возьмем любое целочисленное решение этой системы, например: тогда собственный вектор матрицы B равен (1,1)

Найдем координаты орта . По свойству собственных векторов симметричного оператора второй собственный вектор ортогонален вектору . Выберем вектор таким образом, чтобы базис был правым. От старого базиса перейдем к новому базису .Матрица перехода имеет вид ,

Старые координаты связаны с новыми соотношениями , или

В новой системе координат уравнение данной кривой примет следующий вид:

Приведем подобные.

Выделим полные квадраты:

Из уравнения видно, что действительная полуось a=1, а мнимая b=2.

Произведем преобразование параллельного переноса системы координат в новое начало О₁ по формулам

или Теперь

В системе координат (О₁, i₁, j₁) гипербола имеет уравнение

. Оси О₁х₂, О₁у₂ направлены по прямой ,

Координаты точки О₁, являющейся центром симметрии гиперболы, находим решая систему

. Решая систему уравнений получаем х= - 1, у=2, О₁(-1,2). Фокальной осью является прямая у₂ =0, , Для построение гиперболы строим в старой системе новую систему, в которой строим данную гиперболу. Прямые у₂ = + 2х₂ являются её асимптотами.

Y

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

О₁

Х

O

-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10