Контрольная работа 2 / 2- 6_Высшая математика_10

Контрольная работа №2

по высшей математике-1

(Л.И Магазинников, А.Л Магазинникова)

Вариант 6

1.Запешите общее уравнение прямой, проходящей через точку М(2, 4) перпендикулярно прямой 3x+4y+5=0.

Решение:

В качестве вектора нормали возьмём вектор N2(-4, 3), перпендикулярный вектору N1(3,4),

(N1,N2)=0. Прямая имеет вид: Ax+By-(Ax0+By0)=0, -4х+3y-(-4*2+3*4)=-4x+3y-4=0,

Ответ: 4х-3y+4=0

2.Составьте уравнение прямых, проходящих через точку Р(3, 5) на одинаковых расстояниях от точек А(-7, 3) и В(11, -15). В ответ ввести уравнение той прямой, которая отсекает от осей координат треугольник, расположенной в первой четверти.

Решение:

Найдём уравнения прямых в виде Ах+By+С=0. Так как эта прямая проходит через точку Р, то 3А+5В+С=0. Прямая Ах+By+C=0 находится на одинаковых расстоянияхот точек А и В. Используя формулу получим:

_{, или -7А+3В+С=│11А-15В+С│.}

_{Для нахождения неизвестных коэффициентов А, В, С получаем 2 системы:}

_{а) {3А+5В+С=0, 18А-18В=0.} Общее решение: {A=B, C=-8, B≠0}.}

_{Находим искомое уравнение: В+Ву-8В=0 или т.к. В≠0 х+у-8=0.}

_{б) {3А+5В+С=0, 4А-12В+2С=0.} Общее решение:{A=-11B, C=28B, B≠0.}}

_{Находим искомое уравнение: -11В+Ву+28В=0 или т.к. В≠0 -11х+у+28=0.}

_{Уравнение у=8-х-это график убывающей прямой, расположенной в первой четверти.}

_{Ответ:х+у-8=0}

_{3.Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через точки М1(4, 2, 1) и}

_{М2(3, 3, 2) параллельно вектору АВ=(4, -3, -2).}

_{Решение:}

_{Данная плоскость параллельна векторам I1=М1М2=(-1, 1, 1) и I2=АВ=(4, -3, -2), поэтому её вектор нормали равен : N=[I1, I2]=}

_{, т.к. плоскость проходит через т.М1 (или М2), отсюда записываем уравнение плоскости: Ах+Ву+Сz+D=0, 4+4-1+D=0, D=-7. Искомое уравнение имеет вид: x+2y-z-7=0.}

_{Ответ: x+2y-z-7=0.}

_{4. Найдите координаты проекции начала координат на прямую .}

_{Решение:}

_{Точку А, проекцию точки О(0, 0, 0), найдём как точку пересечения прямой с плоскостью, проходящей через точку О перпендекулярной прямой. Переведём уравнение в параметрическое {x=4t+5, y=3t+1, z=-2t-3.}. Направляющий вектор можно принять в качестве нормали к плоскости. Запишем уравнение плоскости 4х+3у-2z+D=0. 4*0+3*0- -2*0+D=0 (поскольку точка О лежит на плоскости) D=0. Уравнение плоскости имеет вид}

_{4х+3у-2z=0. Найдём точку пересчения плоскости с прямой:}

_{4(4t+5)+3(3t+1)-2(-2t-3)=0}

_{16t+20 +9t+3+4t+6=0}

_29t=-29

_t=-1

_{Найдём координаты т. А х=1, у=-2, z=-1.}

_{Ответ: (1, -2, -1)}

_{5. При каком значении параметра С прямая {3x+y-2z+5=0, x+y-z+1=0.} параллельна плоскости x+3y+Cz-2=0.}

_{Решение:}

_{Если прямая параллельна плоскости значит её направляющий вектор I перпендекулярен N=(I, N)=0. Переведём уравнение прямой в параметрическое:}

_{{3x+y=2z-5, x+y=z-1}}

_{{x=0,5z-2, y=0,5+1}}

_{{x=0,5t-2, y=0,5t+1, z=t}→ I=(0,5; 0,5; 1), N=(1;3;C).}

_0,5+1,5+C=0

_C=-2.

_{Ответ: При С=-2}

_{6.Две грани куба лежат на плоскостях 3х-6у+2z-5=0 и 3х-6у+2z+30=0. Вычислите объём куба.}

_{Решение:}

_{Эти плоскости параллельны т.к их векторвы нормали равны N1=N2=(3, -6, 2). Возьмём произвольную точку (6, 3, 2.5), принадлежащую плоскости 3х-6у+2z-5=0. Теперь найдём расстояние от этой точки до плоскости 3х-6у+2z+30=0. .}

_{Отсюда обьём куба равен}

Ответ: V=125.

_{7.Докажите, что уравнение определяе сферу. Найдите координаты (х0, у0, z0) её центра и радиус. В ответ запешите четвёрку чисел}

_{(x0, y0, z0, R).}

_{Решение:}

_{Из уравнения выделим полные квадраты:}

_{.Отсюда следует, что это уравнение определяет сферу в точке С(2, -3, 4) и R=8.}

_{Ответ: (2, -3, 4, 8)}

_{8. Дана кривая .}

_{8.1 . Докажите, что эта кривая –эллипс.}

_{8.2. Найдите координаты центра её симметрии.}

_{8.3. Найдите её большую и малую полуоси.}

_{8.4. Запишите уравнение фокальной оси.}

_{8.5. Постройте данную кривую.}

_{Решение:}

_{1.Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты: .}

_{Введём новые переменные х1=х-7, у1=у. Тогда или .}

_{Последнее уравнение определяет эллипс.}

_{2.Центр симметрии данного эллипса находиться в точке (7, 0).}

_{3.В данном случае большая полуось равна а=5 и располагается параллельно прямой ОУ, а малая b=4.}

_{4. Фокальной осью является прямая у1=0 т.к большая полуось параллельна ОУ.}

_5.

9.Дана кривая

_{9.1 Докажите, что эта кривая-парабола.}

_{9.2. Найдите координаты её вершины.}

_{9.3. Найдите значение её параметра р.}

_{9.4. Запишите уравнение её оси симметрии.}

_{9.5. Постройте данную параболу.}

Решение:

1. Введём новые переменные у1=у, х1=х-8, получаем _142p. Данное уравнение определяет параболу, ось симметрии которой в старой системе координат параллельна оси ОУ.

2. Точка (0;8)-является вершиной данной параболы.

3. Сравнивая полученное уравнение с каноническим, находим значение параметра р.

14=2р, р=7.

4.

_{10. Дана кривая .}

_{10.1. Докажите, что это пркривая-гипербола}

_{10.2. Найдите координаты её центра симметрии.}

_{10.3. Найдите её квадраты действительной и мнимой полуосей.}

_{10.4. Запишите обшее уравнение фокальной оси.}

_{10.5. Постройте данную гиперболу.}

_{Решение:}

_{1. Квадратичную форму приводим к главным осям. Для этого запишем матрицу этой квадратичной формы и найдём её собственные числа и собственные вектора. Запишем характеристическое уравнение:}

_{.Найдём собственные числа:}

_{D=4-4*(-1,25)=9, а1=2+3/2=2,5, а2=2-3/2=-0,75. Так как собственные числа имеют разные знаки, то данное уравнение определяет кривую эллиптического типа. Найдём собственные вектора матрицы. Для собственного числа а=2,5 получаем систему: {-1,5℮1+1,5℮2=0,}

_{1,5℮1-1,5℮2}. Отсюда ℮1=℮2. Полагая, что ℮1=1, найдём единичный собственный вектор:}

_{√1+1=√2, i=(1/√2;1/√2). По свойству собственных векторов симметрического оператора, собственный вектор j ортоганален вектору i. Выберем вектор j=(-1/√2;1/√2) так, чтобы базис (i,j) был правым.}

_{2.От старого базиса (0,i,j) перейдём к новому базису (0, i1,j1). Матрица перехода имеет вид:}

• _{, . Старые координаты (х,у) связа1ны с новыми (х1,у1) соотношениями , или {х=(х1-у1)/√2, у=(х1+у1)/√2}, {х1=(х+у)/√2, у1=(-х+у)/√2}. В новой системе координат уравнение данной кривой примет следующий вид:}

._{Выделяя полные квадраты получаем:}

_,.

_{Отсюда видно, что действительная полуось а=√5/8, а мнимая b=√8.}

_{3.Произведём преобразования параллельного переноса системы координат в новое начало О1 по формулам:}

_{{х2=х1+√2/2, у2=у1-1,5*√2} откуда {х2=(х+у+1)/√2, у2=(у-х-3)/√2}}

_{В системе координат (О1,i1,j1) гипербола имеет уравнение .}

_{Оси О1х2, О1у2 направлены по прямым х+у+1=0, у-х-3=0. Координаты точки О1, являющиеся центром симметрии гиперболы, находим, решая систему {х+у=-1, у-х=3} Получаем у=1, х=-2,}

_{О1(-2,1). Фокальной осью является прямая у-х-3=0.}

_{4. Для построения гиперболы строим в старой системе новую систему, в которой строим данную гиперболу.}