Контрольная работа 2 / 2-15_Высшая математика

Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Контрольная работа № 2

Вариант № 15

по дисциплине «Высшая математика»

Выполнил:

студент ТМЦДО

Норильск

2005.г

1.Даны две точки А (-3;2) и В (5;-4).Составить общее уравнение прямой ,проходящей через начало координат и делящей пополам отрезок АВ.

Решение: По условию задачи мы имеем дело с частным случаем, когда уравнение Аx+Вy+С=0 является неполным. Т.к. С=0;уравнение имеет вид Аx+By=0 и определяет прямую, проходящую через начало координат. Найдем вектор нормали N=(A,B).

Для этого, найдем точку пересечения прямой L с отрезком AB.Т.к. прямая L проходит через точку М, являющуюся серединой отрезка АВ, находим координаты середины отрезка АВ : Прямая L параллельна вектору .В качестве вектора нормали возьмем N=(1;1).Значит общее уравнение прямой имеет вид :

X+Y=0.

Ответ:X+Y=0.

2.Даны вершины треугольника А (-6;2),В (2;-2),С (2;4).Найти точку пересечения его высот.

Решение: Точку пересечения высот треугольника мы найдем, как точку пересечения непараллельных прямых. Т.к. высота ВМ перпендикулярна АС, то в качестве вектора нормали к прямой ВМ можно взять любой параллельный АС вектор. АС=(8;2),уравнение прямой ВМ можно записать в виде:

8X+2Y+C=0.

Т.к. точка В лежит на прямой ВМ, тогда

16-4+С=0,С=-12.

Получаем уравнение прямой ВМ в виде:

8X+2Y-12=0.

Аналогично находим уравнение высоты АК перпендикулярной ВС .Прямая АК перпендикулярна вектору N=(0;6).Записываем искомое уравнение:

6Y+C=0 , C=-12.

Получаем уравнение прямой АК в виде:

6Y+C=0.

Теперь найдем точку пересечения высот треугольника ВМ и АК. Для этого решим систему уравнений этих прямых:

Точка пересечения высот ВМ и АК О(1;2).

Для проверки найдем точки пересечения высоты ВМ и СЕ, АК и СЕ. Тогда нам надо найти общее уравнение прямой СЕ. Т.к. высота СЕ перпендикулярна прямой ВС, то прямая СЕ перпендикулярна вектору N=(8;-4).Записываем искомое уравнение:

8X-4Y+C=0 , C=0.

Получаем уравнение прямой СЕ в виде:

8X-4Y=0.

Решая систему уравнений для ВМ и СЕ:

Точка пересечения высот ВМ и СЕ О(1;2).

Решая систему уравнений для АК и СЕ:

Точка пересечения высот АК и СЕ О (1;2).

Ответ: О(1;2).

3.Написать общее уравнение плоскости, проходящей через точки

параллельно вектору m=(-2;2;3) .

Решение: Нам известно, что общее уравнение плоскости имеет вид Ax+By+Cz+D=0.Чтобы записать общее уравнение плоскости, мы найдем ее вектор нормали и возьмем любую точку лежащую на плоскости. Если нам известны какие-нибудь два вектора параллельные плоскости, то , очевидно, .

Возьмем

В качестве вектора нормали возьмем

Разложим этот определитель по первой строке:

Запишем уравнение плоскости взяв т.:

10X-8Y+12Z+D=0,

30-24+60+D=0,

D=-66.

Общее уравнение плоскости имеет вид:

10X-8Y+12Z-66=0.

Ответ: 10X-8Y+12Z-66=0.

4.Найти длину отрезка прямой , параллельной вектору а = (2;2;1), заключенного между плоскостями 4x-3y+2z+2=0 и 4x-3y+2z+10=0.

Решение : По условию задачи данные плоскости параллельны, т.к..При этом из условия видно, что прямая параллельная вектору а =(2;2;1) не параллельна этим плоскостям, т.к. прямая параллельна плоскости в том случае ,когда направляющий вектор а=(l;m;n) перпендикулярен к нормальному вектору N=(A,B,C):т.е.

Также прямая не перпендикулярна этим плоскостям. Т.к. прямая перпендикулярна плоскости в том случае ,когда направляющий вектор коллинеарен нормальному вектору :т.е. .Пусть прямая L проходит через две плоскости параллельно вектору .Плоскость прямая L пересекает в точке А.Найдем ее координаты:

Запишем параметрическое уравнение прямой L:

Для определения точки пересечения прямой и плоскости подставим значения x,y,z из уравнения L в уравнение .

После преобразования получим:

причем знаменатель не равен нулю, так как плоскость не параллельна прямой.

Подставляем t в уравнение прямой :

Получили координаты точки А .

Теперь найдем расстояние от точки А до плоскости по формуле:

Это и будет длина отрезка прямой ,заключенного между плоскостями.

Ответ:

5.Плоскость проходит через прямую точку А(2;1;1) и пересекает ось в точке . Найти .

Решение : Мы знаем ,что векторная форма уравнения плоскости ,где r=(x,y,z)- радиус-вектор произвольной точки плоскости и .Получаем искомое уравнение плоскости :

В нашем случае

Ответ : -36.

6.Плоскость проходит через прямую и параллельна прямой .Найти расстояние от второй прямой до плоскости.

Решение: Две прямые могут быть параллельны в том случае, если параллельны их направляющие векторы т.е. когда их координаты пропорциональны. Выясним параллельны ли наши прямые .Если они не параллельны, тогда плоскость проходит через прямую не параллельную второй прямой .В этом случае, мы можем найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми по формуле :

где -радиус векторы точек ,лежащих на первой (второй) прямой, -направляющие векторы этих прямых.

Для начала найдем общее решение системы

Т.к. ,то неизвестное z можно принять в качестве свободного и записать систему, выражая x и y через z:

Полагая z=t ,записываем параметрические , и канонические уравнения прямой.

Т.к. направляющие векторы прямых не пропорциональны, значит данные прямые скрещиваются.

Возьмем

Вычисляем:

Ответ: 1.

7.Найти радиус окружности с центром в точке , если известно, что прямая касается этой окружности.

Решение: Нам дана окружность с центром в точке радиуса R на плоскости. Ее можно задать уравнением: , где -координаты центра окружности, а x,y-координаты точки касания прямой с окружностью.

Как известно, касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Поэтому из уравнения прямой запишем вектор нормали касательной .Точка С – есть точка касания прямой с окружностью.

Найдем координаты точки С :

.

Находим радиус окружности :

Ответ: 13.

8.Дана кривая

8.1.Доказать, что данная кривая – гипербола.

8.2.Найти координаты центра ее симметрии.

8.3.Найти действительную и мнимую полуоси.

8.4.Написать уравнение фокальной оси.

8.5.Построить данную кривую.

Решение:

8.1.Каноническое уравнение гиперболы имеет вид .

Выделяя полные квадраты, уравнение можно записать в виде или . Положим .Тогда данная кривая гипербола.

8.2.Решая систему уравнений ,находим координаты центра симметрии в точке О :

Данная кривая –гипербола с центром в точке О(-2;1).

8.3.Ось ОY –мнимая ось гиперболы ,а ось ОX –действительная .Из канонического уравнения гиперболы получаем: мнимая ось ,действительная ось .

8.4.В новой системе координат оси направлены по прямым ,

которая и является фокальной осью.

8.5.Для построения более точного графика найдем еще асимптоты данной гиперболы и точки ее пересечения со старыми осями координат. Уравнение асимптот гиперболы имеет

вид или , получаем :

Гипербола пересекает ось OX в точках (2,25;0) и (-6,25;0), ось OY гипербола не пересекает.

Строим данную кривую.

9.Дана кривая .

9.1.Доказать, что данная кривая – парабола.

9.2.Найти значение ее параметра .

9.3.Найти координаты ее вершины.

9.4.Написать уравнение ее оси симметрии.

9.5.Построить данную кривую

.

Решение:

9.1.Каноническое уравнение параболы .

Выделяя полный квадрат, уравнение можно записать в виде . Пусть , тогда получаем . Данное уравнение определяет параболу.

9.2.Сравнивая наше уравнение с полученным каноническим уравнением параболы, находим, что 2р=2,р=1.

9.3.Найдем вершину параболы из системы уравнений при , ее координаты .

9.4.В новой системе координат оси направлены по прямым и .

Осью симметрии данной параболы является ось OY, вершина которой лежит в начале координат.

9.5.Для построения более точного графика найдем точки пересечения данной кривой со старыми осями координат. Кривая пересекает только ось OY в точке (0;3,5).Строим график.

-1

10.Дана кривая .

10.1.Доказать, что данная кривая - эллипс.

10.2.Найти координаты центра его симметрии.

10.3.Найти его большую и малую полуоси кривой.

10.4.Записать уравнение фокальной оси.

10.5.Построить данную кривую.

Решение:

Квадратичную форму приводим к главным осям. Для этого записываем матрицу квадратичной формы ,

Ёе корни являются собственными числами и , то следовательно кривая эллипс.

Находим собственные векторы:

.

.

Новые базисные векторы i и j .

Записываем матрицу перехода и обратную к ней .

Новые координаты , связаны со старыми (x,y) соотношениями ,

.Приняв в качестве новых базисных векторов декартовой системы главные оси квадратичной формы приведем к виду причем

, где Q – матрица перехода от старого ортонормированного базиса к новому .

В новой системе координат уравнение эллипса принимает вид :

Перейдем к новой системе координат по формулам

Теперь наше уравнение приводится к виду:

это уравнение мнимого эллипса.

Причём, как это следует :

Решая систему ,найдем координаты нового начала в старой системе координат.

Координаты центра симметрии

Малая полуось эллипса , а большая полуось

.

Новые оси направлены по прямым и .

(ось ) и (ось ) , которая и является фокальной осью.

Для построения графика найдем дополнительные точки эллипса. Точки пересечения со старыми осями координат на оси (3,4;0) и (-0,7;0),оси (0;4,6) и (0;-1,1).