Министерство образования РФ

Томский Государственный Университет

систем управления и радиоэлектроники

(ТУСУР)

Контрольная работа № 2

по

высшей математике.

вариант № 2.1

1. Записать уравнение прямой, проходящей точки М1(-1,2) и М2(-3,-2).

Найти значение параметров k и b для этой прямой.

Уравнение прямой по определению: y = kx + b , =>

уравнение для точки М1 : -k + b = 2; для точки М2 : -3k + b= -2.

Находим k и b из системы уравнений :

; ; ; ; => y=2x+4 .

Ответ: k = 2 ; b = 4.

2. Две стороны квадрата лежат на прямых 5x - 12y – 65 = 0 и 5x - 12y + 26 = 0.

Вычислить его площадь.

= , где d – сторона квадрата.

(L1): 5x - 12y – 65 = 0 => A1 = 5, B1 = -12, C1 = -65;

(L2): 5x - 12y + 26 = 0 => A2 = 5, B2 = -12, C2 = 26;

A1/A2=B1/B2, => (L1) ll (L2).

Очевидно, что d будет равно расстоянию между прямыми (L1) и (L2).

Пусть M - произвольная точка прямой (L1), тогда

M.

Очевидно, что d будет равно расстоянию от точки M до прямой (L2), =>

d , где , тогда :

d = = ед. =>

кв.ед.

Ответ: кв.ед.

3. Записать общее уравнение плоскости, проходящей через перпендикуляры, опущенные из точки P(-3,2,5) на плоскости 4x + y – 3z + 13 = 0 и x – 2y + z – 11 = 0.

: ; : ; ; Найти:

: ; : .

Плоскость параллельна и (по условию).

.

и , => . и проходит через точку P, тогда:

; =>

Ответ:

4. Найти длину отрезка прямой, параллельной вектору l = (0,3,4), между точками пересечения ее с плоскостями 2x + y – z – 6 = 0 и 2x + y – z – 4 = 0.

; ; ; ; ;

; . Найти:

Пусть - произвольная точка.

Уравнение прямой , проходящей через точку :

; .

Найдем координаты точки A:

; ;

.

Найдем координаты точки B:

; ;

. =>

Ответ: длина отрезка = 10 ед.

5. Найти те значения m и n, при которых прямая пересекает прямые

и .

; ; ;

Найти: m и n.

Запишем уравнения данных прямых в векторной форме:

, где:

, где:

прямые и пересекаются, если: ;

прямые и пересекаются, если:

Находим m и n из системы уравнений:

Ответ: m = 48, n = 77.

6. Дано, что прямая, пересекающая ось аппликат в точке , паралельна плоскости , отстоит от нее на расстоянии 7 и перпендикулярна оси ординат. Найти абсциссу точки пересечения этой прямой с координатной плоскостью .

Найти:

Т. к. то уравнение прямой находим в виде: .

Т. к. , то n = 0 , тогда:

Вектор параллелен прямой .

Т. к.

Т.к. то расстояние от точки до плоскости (по условию), =>

Найдем координаты точки M :

Ответ: 21.

7. Записать уравнение касательной к окружности в точке .

Найти:

Уравнение касательной:

Ответ:

8. Дана кривая .

8.1. Доказать, что эта кривая - эллипс.

Выделим полные квадраты:

8.2. Центр симметрии находится в точке (1,3).

8.3. Большая полуось: a = 5 ;

8.4. Малая полуось: b = 3 ;

8.5. Уравнение фокальной оси: y = 3 .

8.5. Построить данную кривую.

9. Дана кривая .

9.1. Доказать, что эта кривая – парабола.

Выделим полный квадрат:

данная кривая - парабола.

9.2. Координаты вершины (5,0).

9.3. Значение параметра: .

9.4. Уравнение оси симметрии: .

9.5. Построить данную кривую:

10. Дана кривая .

10.1. Доказать, что эта кривая – гипербола.

.

Группа старших членов образует квадратичную форму: .

Ее матрица: . Характеристическое уравнение:

10.2. Найти координаты ее центра симметрии.

Определим собственные вектора:

.

.

Чтобы пронормировать примем

тогда векторы нового базиса:

Матрица перехода от базиса

переходим к новым координатам:

Подставим выражение (2) для x и y в исходное :

После упрощения выражения, получим:

Перейдем к новым координатам:

тогда уравнение гиперболы в системе координат

Уравнение оси

Координаты центра симметрии

Ответ: .

3. Действительная полуось:

Мнимая полуось:

3. Уравнение фокальной оси

3. Построить данную кривую: