Вариант 2.10

1). В прямоугольном треугольнике даны: вершина острого угла А(7, - 2) и уравнение 3x – 5y + 15 = 0 одного из катетов. Запишите общее уравнение другого катета.

Решение.

Y

3x – 5y + 15 = 0

0 X

A (7; -2);

Находим угловой коэффициент данной прямой.

- 5y = - 3x – 15, y = x + 3, ₁ = ,

Условие перпендикулярности прямых.

(₂ = - , ₁ = ) => (₂ = - ).

Y + 2 = - (x – 7), 3y + 6 = - 5x + 35,

Ответ: 5x +3y –29 = 0.

2). Высота, проведенная из вершины А(4, 4) треугольника ABC, пересекает прямую BC в точке D(1, 1). X + 2y + 1 = 0 – уравнение высоты, опущенной из вершины B. Определить координаты x₀, y₀ вершины C.

Y A(4, 4)

Решение.

D(1, 1)

X

0

Находим уравнение высоты AD, по формуле = ; = ;

X-1 = y – 1; y = x; ₁= - 1.

Находим уравнение стороны BC.

Y – 1 = - 1(x – 1); y – 1 = - x + 1; x +y – 2 = 0;(bc).

Находим угловой коэффициент высоты опущенной из вершины B.

2y = - x – 1; y = - x - ; ₁ = - ; ₂ = - ; ₂ = 2.

Находим уравнение стороны AC, она перпендикулярна AC.

Y – 4 = 2(x – 4); y – 4 = 2x – 8; 2x – y – 4 = 0.

Находим координаты т. е. для этого решим систему.

X + 2y = 2 5x = 10; x = 2; y = 3; c(2; 0).

2x – y = 4

Ответ: c(2; 0).

3). Запишите общее уравнение плоскости, которая проходит через точку M₀(1, 2, 3) и ось

OY.

Решение.

Уравнение оси OY x = z = 0.

На оси OY берём две точки.

O(0; 0; 0), A(0; t;0), Находим уравнение этой плоскости.

= = (x – 1) - (y – 2) + (z – 3)=

=(x – 1)(6 +3t – 6) – 0 + (z –3)(- t +2 – 2) = 3tx – 3t –3zt + 3t = 3tx – 3zt = 0.

Ответ: t(3x – z) = 0 t.

4). Найдите значение параметра М в уравнении прямой если известно, что эта прямая параллельна плоскости x + 4y + 3z +5 = 0.

Решение.

Условие параллельности прямой и плоскости.

AL + BM + C_n = 0.

X + 4Y + 3Z +5 = 0.

; ;

Находим направляющий вектор прямой.

L = = 0; m₁ = - =18; n = = m;

0*1 + 4(- 18) + 3 * m =0, 3m=72.

Отвеет: m=24.

5). Найдите длины отрезка, отсекаемого от оси аппликат плоскостью, проходящей через точки P₁(2, 1, 0), P₂(1, 0, 4) и пересекающей оси ординат и абсцисс в точках A₁(0, A, 0), A₂(A, 0, 0).

Решение.

Находим уравнение проходящей через точки P₁, P₂ и A₁.

= = (x – 2) - (y – 1) + z = (x – 2) =(4-4a) – 8(y-1)+ z(-1-a) = (4 –4a)x – 8 + a –8y – z (a +1) + 8a = 0.

(4 –4a)x – 8y –z(a + 1) + 8a =0.

Находим плоскость проходящую через точки P₁, P₂, A_1.

= (x – 2) - (y –1) + z =

= (x – 2)*4 – (y – 1)(8-4a) + z(1 + a –2) =

= 4x – (8 – 4a)y + 8 – 4a –8 + (a-1)z =

= 4x – (8 – 4a)y + (a-1)z- 4a = 0

;

Эти плоскости составляют одну и туже плоскость.

(a=0).

Уравнение плоскости проходящей через точки P₁, P₂, A₁,A_2.

4x – 8y –z = 0.

Плоскость проходит через начало координат, значит z = 0.

Ответ: z = 0.

6). Найдите координаты точки пересечения прямой ==z с плоскостью, содержащей прямые ==, ==.

Решение.

(1). ==z.

(2). ==. A(1, 0, -1)

(3). ==. B(1, 1, 1)

Прямые (2) и (3) параллельны так как = =.

Находим плоскость проходящую через т. B и прямую (1).

= = (x-1) - y + (z +1)=(x –1)(-2) – y(-4)+(z+1)(- -- 2) = - 2x+2 +4y – 2z –2=-2x +4y – 2z +2 – 2 = - 2x +4y –2z =0

x-2y+z=0

Решим систему.

O(0, 0, 0),

Ответ: o(0, 0, 0).

7). Найдите радиус сферы с центром в точке С(-1, -2, 3),если она касается плоскости 2x-2y+z +10=0.

Решение.

Так как сфера касается плоскости, то радиус должен быть перпендикулярным этой плоскости, и равен расстоянию от точки С до плоскости.

R= = = .

Ответ: R=.

8). Дана кривая 4x²+9y²-32x-18y+37=0

8.1). Докажите, что эта кривая – эллипс.

8.2). Найдите координаты центра его симметрии.

8.3). Найдите его большую и малую полуоси.

8.4). Запишите уравнение фокальной оси.

8.5). Постройте данную кривую.

Решение.

(1). Коэффициенты при старших членах имеют одинаковые знаки и их произведения xy то есть A=4>0 <=9>0. B=0. (=AC-B²>0 =4*9-0>0).

(2). 4x²-39x+9y²-18y+37=0.

4(x²-8x+16-16)+9(y²-2y+1-1)+37=0,

4(x-4)²+9(y-1)²-64-9+37=0.

0(4;1).

(3). 4(x-4)²+9(y-1)²=36.

+=1

+=1

a²=9 a=3—большая полуось.

B²=4 b=2--- малая полуось.

(4). Фокусы эллипса находятся на большей оси, уравнение которой – y=1.

(5).

y

y₁

9). Дана кривая y²-4y+10x+14=0.

9.1). Докажите, что данная кривая – парабола.

9.2). Найдите координаты её вершины.

9.3). Найдите значения её параметра p.

9.4). Запишите уравнение её оси симметрии.

9.5). Постройте данную параболу.

Решение.

(1). Так как c = 1. a = b = 0. то кривая парабола.

Y² – 4y +4 –4 +10x+14=0, ( = ac –b²=0, 0*1-0=0).

(2). (y-2)²+10x+10=0, (y-2)²= - 10(x+1).

Y=2 x=-1 0(-1;2).

(3). В системе x₁,0_1,y₁, уравнение параболы (y₁)²= -10x, общий вид параболы y² = - 2px отсюда

следует p = -5.

(4). Ось симметрии y = 2.

(5).