Вариант № 9

1. Метод ортогонализации решения СЛАУ.

Определение: Действительная матрица называется ортогональной, если ее транспонированная матрица совпадает с обратной ,то есть

(1)

(2)

Свойства ортогональной матрицы.

Строки ортогональной матрицы попарно ортогональны. Это следует из равенства (2)

;

Покажем, что сумма квадратов элементов каждой строки (столбца) ортогональной матрицы равна 1. Из равенства (2) при получаем

Определитель ортогональной матрицы равен . Действительно, из равенства (2) имеем

или , отсюда

Транспонированная и обратная матрицы ортогональной матрицы суть также ортогональные матрицы.

Пусть имеем матрицу с действительными элементами

Столбцы матрицы обозначим как векторы

, тогда

Теорема: Всякую действительную неособ. матрицу можно представить в виде произведения матрицы с ортогональными столбцами и верхней треугольной матрицы с единичной диагональю

(3)

Доказательство: Рассмотрим для примера матрицу 3 порядка

где

Так как - неособенная, то линейно-независимы.

Будем искать матрицу в виде

где - искомые диагональные столбцы.

Имеем

Отсюда имеем

Умножая второе равенство на получим с учетом ортогональности

(4)

Умножим третье равенство на и получим

(5)

В общем случае матрицы получим

(6)

(7)

(8)

Теорема доказана.

Применим теперь этот результат к решению системы

Представим , получим

(9)

Умножим (19) слева на

(10)

Так как - имеет ортогональные столбцы, то ,

где , , то из (10) получим

, (11)

где

Система (11) имеет верхнюю треугольную матрицу с единичной диагональю, поэтому она легко разрешается

или

2. Процесс Зейделя для нормальной системы.

Рассмотрим один из способов преобразования системы:

(1)

позволяющий всегда получать сходящийся процесс Зейделя. Помножим (1) слева на

или (2)

где

Систему (2) принято называть нормальной. (Такая система получается при использовании МНК)

Нормальная система обладает рядом замечательных свойств:

1. матрица С - симметрическая

2. все элементы главной диагонали

3. матрица С - положительно определена

Первое свойство следует из определения

Второе свойство вытекает также из определения

Рассмотрим третье свойство:

Действительно:

Теорема: Пусть система

(3)

нормальная, т.е. - симметричная, положительно определённая матрица и имеющая положительные диагональные элементы. Тогда процесс Зейделя сходится при любом выборе начального приближения.

Доказательство: Представим матрицу в виде суммы матриц

где - диагональная матрица,

;

Тогда имеем:

Отсюда:

Для получим:

(4)

где

Процесс Зейделя для системы (3) или эквивалентной ей системы (4) строится следующим образом:

(5)

где

иначе

(6)

где

Покажем, что собственные значения матрицы

меньше единицы по модулю, т.е. .

Пусть - собственный вектор матрицы , соответствующий собственному значению , т.е.

или

. Отсюда:

и, следовательно

Введём обозначение

, где - действительные числа

Т.к. - транспонирована к матрице , то

Поэтому

и, следовательно

(7)

С учетом положительной определённости матрицы A, будем иметь:

Отсюда . Далее, т.к. то и, следовательно,

(8)

Подставляем (8) в знаменатель (7), получим

и, следовательно, . Это справедливо для всех .

Перейдём ко второй части доказательства, а именно, если , то процесс (5) сходится. Перепишем (5) в виде (6)

Рассмотрим разность:

(9)

Представим M в форме

где ; S - неособенная матрица.

Тогда (29) можно записать в виде:

или

где

Отсюда:

и т.к. , то последовательность сходится к некоторому пределу , т.е.

т.е. последовательность ч.т.д.

3. Метод Гаусса вычисления определителя.

Итак, применим метод Гаусса для вычисления . При решении системы уравнений:

методом Гаусса мы путём преобразования по схеме единственного деления привели её к треугольному виду:

где

Определитель .

Элементы матрицы B получилась из матрицы A с помощью следующих элементарных преобразований:

1. деления на ведущие элементы матрицы , матрицы ,..., матрицы .

2. вычитания из строк матрицы и промежуточных матриц чисел, пропорциональных элементам соответствующих ведущих строк.

При первой операции определитель матрицы также делится на соответствующий ведущий элемент, т.е.

Следовательно:

(1)

т.е. определитель равен произведению ведущих элементов для соответствующей схемы Гаусса.

Замечание: Если для какого-нибудь шага будет близок к нулю, то следует соответствующим образом изменить порядок строк и столбца матрицы.

4. Метод итерации решения систем нелинейных уравнений.

Пусть дана система нелинейных уравнений специального вида:

(1)

или в векторном виде

(2)

где - функции действительны, определены и непрерывны в некоторой окрестности изолированного решения .

Для нахождения корня уравнения используют метод итераций:

(3)

При этом если процесс (21) сходится, то предел значения:

(4)

обязательно является корнем (2). Действительно, взяв предел от левой и правой части (3) получим:

т.е.

Т.о. есть корень уравнения (2).

Если, сверх того, все приближения принадлежит области и - единственный корень в , то очевидно

Пусть дана система

(4)

Приведём её к виду (1). Для этого перепишем (4) в виде

где - неособенная матрица (т.е. ). Введя обозначение , будем иметь:

(5)

Ниже будет показано, что процесс итераций для (5) быстро сходится, если

норма мала по норме. Здесь полагается, т.е. не зависит от .

. Поэтому выбираем матрицу таким образом, чтобы

отсюда

Это есть, в сущности, модифицированный метод Ньютона, применённый к системе (4).

Если , то следует выбрать другое начальное приближение .

5. Решить систему методом Халецкого.

Э то система вида Ax=d, где

Представим матрицу А в виде произведения нижней треугольной матрицы и верхней треугольной матрицы с единичной диагональю:

A=BC

Тогда система Ax=d может быть представлена в виде двух систем с треугольными матрицами (1)

Системы (1) легко решаются

(2)

(3)

Элементы и определяются по след. формулам

(4)

6. Найти обратную матрицу:

М атрица А невырождена, а потому имеет обратную. Находим элементы присоединеной матрицы А­_­­^*_­.

И спользуя формулу

Г де