Контрольная работа 2 / 2- 7_Высшая математика (Математика Ерохина Байбакова КР 2 вар 7)

y^/ = 1- 4= 1- ;

y^/ = 1- ; y^/ = 0 при х = 4

х = 4 – критическая точка на отрезке [1,9].

Вычислим значение функции на концах отрезка и в критической точке:

у₁(1) = 1 – 4+ 5 = 1 – 4 + 5 = 2; у₂(1) =1 + 4 + 5 = 10

у₁(4) = 4 – 4+ 5 = 4 – 8 + 5 = 1; у₂(4) =4 + 8 + 5 = 17

у₁(9) = 9 – 4+ 5 = 9 – 12 + 5 = 2; у₂(9) =9 + 12 + 5 = 26.

у = 1 – наименьшее значение функции

у = 26 – наибольшее значение функции

на отрезке [1,9].

10. Проведите полное исследование функции у = и постройте ее график.

Решение:

у =

1. Функция определена во всех точках, кроме х = 3

2. Функция не периодическая, не симметрична относительно оси координат

3. у = 0 при = 0

Д = 36 - 34 = 24

Х_1,2 = ; Х₁ = 3 +; Х₂ = 3 -- точки пересечения с осями координат

4. Функция имеет разрыв второго рода в точке х = 3

;

Прямая х = 3 – вертикальная асимптота.

5. Исследование на экстремумы

y^/ =

y^/ = ; y^/ =

y^/ =

Приравниваем y^/ к нулю:

y^/ = 0 при = 0

Д < 0 – корней нет

y^/ ≠ 0 при любых значениях х

Экстремумов нет.

y^/ > 0 при > 0

т.к. (х – 3)⁴> 0 при любых х ≠ 3

х (-; 3 ) – функция возрастает

х (3; +) – функция возрастает

6. Исследование на выпуклость и вогнутость.

Найдем вторую производную:

y^// =

y^// =

y^// =

y^// =

y^// = - ; y^// = -

y^// = 0 при x = 3, следовательно:

> 0 при любых х ≠ 3

y^// > 0 при < 0; х< 3- вогнутость

y^//< 0 при > 0; х> 3- выпуклость

x = 3 – точка перегиба

x	(-; 3 )	3	(3; +)
y/	+	0	+
у		не определена
функция	возрастает	разрыв второго рода	возрастает
y//	вогнутость	точка перегиба	выпуклость

7. Наличие асимптот

x = 3 – вертикальная асимптота

установлено выше.

Найдем наклонные асимптоты в виде у = k х +в:

k =; в = [y – kx];

k = 1

k = 1

в = [y – kx] =

- 3

в = - 3

y = x – 3 - уравнение наклонной асимптоты

8.Дополнительные точки

x	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
y	-5		-2,5	-1	1	5	±∞	-5	-1	1	2,5

9. Строим график функции по имеющимся данным: