Контрольная работа 2 / 2- 7_Высшая математика (Математика Ерохина Байбакова КР 2 вар 7)

Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра экономики

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Высшая математика»

(Учебное пособие «Высшая математика. Часть 1» авторы Ерохина А.П. Байбакова Л.Н., 2002)

Выполнил:

студент ТМЦДО

гр.: з-857-а

специальности 080507И

20 декабря 2007 г.

г.

2007 г

1.Найдите пределы последовательностей:

а) 6n⁴ + n – 1

3n⁴ + 5

Неопределенность вида

Поделим числитель и знаменатель на n⁴:

= = 2,

т.к. → 0; → 0; → 0 при n → ∞

Ответ: 2

б) (- n) = ∞ - ∞

Данное выражение вида ∞ - ∞ - неопределенность , применим формулу (a -b)(a +b) = a² – b²

Домножим числитель и знаменатель на сумму + n, в результате прейдем к неопределенности вида

= = =

Разделим числитель и знаменатель на n:

= = = = 3

Ответ: 3

2.Найдите пределы функций:

а)

Неопределенность вида

Числитель и знаменатель обращаются в нуль при х = 4, следовательно х = 4 является корнем числителя и знаменателя.

Размножим числитель и знаменатель на множители.

Одним из множителей очевидно является (х - 4)

= 0

Д = 49 – 4 *12 = 1

х_1,2 = ; х₁ = 4; х₂ = 3

= (х - 4)(х - 3)

Разделим знаменатель на (х - 4)

/ х - 4

х² + 2х – 1

- х + 4

- х + 4

0

= (х - 4)( х2 + 2х – 1)

= = = =

Ответ:

б) (0,5)^х + 3 =

(0,5)^х + 7

Т.к. (0,5)^х = = → 0 при х → ∞

Ответ:

в)

= = 0 , т.к. ~ , при x → 0

tgx ~ x, ctgx - ~ - эквивалентные бесконечно малые

~ * =

Ответ:

г) e * =

Неопределенность вида

Используем второй замечательный предел

= = e

где - б.м. при х →∞

Вынесем константу за знак предела и выделим в скобках единицу и выполним преобразования:

e *= e *=

e *= e *=

e *= e * e = e * e⁰ = e

Ответ: e

д)

по таблице эквивалентных бесконечно малых ln(1+x) ~ x:

ln (3x-2) = ln ((3x-3) +1) ~ 3x-3 → 0, при x→ 1

ln (2x-1) = ln (2x-2) +1) ~ 2x-2 → 0, при x→ 1

= = = =

Ответ:

e)

По таблице эквивалентных бесконечно малых e^x-1 ~ x:

e^6x-1 ~ 6x, при x→ 0

e^2x-1 ~ 2x, при x→ 0

= 3

Ответ: 3

3.Выделите главную часть вида с(х-2)^k , бесконечно малой a (x) = при x→ 2.

По таблице эквивалентных бесконечно малых:

sinx ~ x

ln(1+x) ~ x

sin²(4-x²) ~ (4-x²) ²

ln (1+2-x) ~ (2-x)

= 1

= + = = 1 , при с = -16

Следовательно, главная часть имеет вид:

-16 (x-2)

4.Найдите все точки разрыва и исследуйте их характер для функций:

а) f₁(x) =

f₁(x) = ; = │х│

Знаменатель дроби обращается в нуль при х = 0; х = 1; х = -1, следовательно, данные точки являются критическими.

Рассмотрим точку х = 0; ~ x

Вычислим односторонние пределы:

f₁(x) = = = -3

f₁(x) = = = 2-1 = 1

Односторонние пределы конечны, но не равны, следовательно, х = 0 – точка разрыва первого рода (скачок функции)

Рассмотрим точку х = 1

Вычислим односторонние пределы:

f₁(x) = = = -sin2 + =

х = 1 – точка разрыва второго рода.

Рассмотрим точку х = -1:

f₁(x) = = = sin2 -

f₁(x) = = = -sin2 -

х = -1 – точка разрыва первого рода.

Ответ: х = 0 – точка разрыва первого рода,

х = 1 – точка разрыва второго рода,

х = -1 – точка разрыва первого рода.

б

при х ≤ 0

при х > 0

) f₂(x) =

Рассмотрим f₁(x) = ’ ОДЗ х ≤ 0

Критическими точками на разрыв являются точки x = 2, x = -2

Точка x = 2 не входит в ОДЗ

Рассмотрим точку x = -2

Вычислим односторонние пределы:

f₁(x) = = = -

f₁(x) = = = -

Односторонние пределы равны, следовательно, x = -2 – точка устранимого разрыва

Рассмотрим f₂(x) = , при х > 0

Определим критические точки, вычислив корни знаменателя:

= 0; Д = 25 – 4*4 = 9;

Х_1,2 = ; Х₁ = 4; Х₂ = 1

= (х-1)(х-4)

Критические точки: х=1; х=4

Рассмотрим точку x = 1

Вычислим односторонние пределы:

f₂(x) = = = = -

f₂(x) == = = -

Односторонние пределы равны, следовательно, x = 1 – точка устранимого разрыва

Рассмотрим точку х = 4

Вычислим односторонние пределы:

f₂(x) = = = = - ∞

f₂(x) == = = + ∞

х = 4 – точка разрыва второго рода

Рассмотрим граничную точку х = 0

Вычислим односторонние пределы:

f₁(x) = = = -

f₂(x) == = = 0

Односторонние пределы конечны и не равны друг другу

x = 0 – точка разрыва первого рода (скачок функции)

Ответ:

x = 4 – точка разрыва второго рода

x = 0 – точка разрыва первого рода (скачок функции)

x = 1 – точка устранимого разрыва

x = -2 – точка устранимого разрыва

5.Найдите производные от данных функций:

а) у = , у^/(0)

Используем формулы дифференцирования суммы, дроби и степеннной функции:

у^/ = (u + v) ^/ = u^/ + v^/

у^/ =

у^/ = = = = = ==

у^/ =

у^/ (0) = = -

у^/ (0) = -

б) у = arcsin²7x - , у^/ (0)

Используем формулы дифференцирования:

у^/ = (u + v) ^/ = u^/ + v^/; у^/ =

(arcsin u) ^{/ =}

sin u = u^/ * cos u

у^/ = 2 arcsin7x * (arcsin7x) ^/ - = 2 arcsin7x *- = -;

у^/ (0) = - 0 + 8= 8

у^/ (0) = 8

в) у = (arctg4)ln(arctg4x) + 5^x – (5ln5)x, у^/ (1)

arctg4* +5^x *ln5-5ln5 = arctg4 - + ln5(5^x –5) = arctg4-+ln5(5^x-5)

у^/ (1) = arctg4 -+ ln5(-5) = arctg4 -

у^/ (1) = arctg4 -

6.Дана функция у = . Найдите. Вычислите (2).

(ln u)´ = u´

u

у^/ == = = = =

у^// = = = -1 = -

у^// (2) = - -

7. Докажите, что функция z = х℮ удовлетворяет уравнению х²

Найдем производные ; ;

y= const;

=

= =

x= const;

=

=

= =

Подставим в исходное уравнение:

х²

8. Функция z =z(x;y) задана неявно уравнением

Вычислите: а) (1;1;0) б) (1;1;0)

Решение: [x,y,z(x,y)] = 0

= =

== - 2

= =

== = 3

9. Дана функция y = x - 4 + 5. Найдите ее наибольшее и наименьшее значение на отрезке [1,9].

Решение:

Найдем критическую точку функции y .Для этого найдем первую производную: