Контрольная работа 2 / 2- 9_Высшая математика (специальность 080105)

Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Контрольная работа № 2

Вариант № 2.9

по дисциплине «Высшая математика - 1»

(Учебное пособие «Линейная алгебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ, дифференциальное исчисление»

автор Ерохина А.П., Байбакова Л.Н.,2004 г.)

г. Норильск

2005 г

а)

Числитель и знаменатель являются бесконечно большими ,следовательно ,имеем случай неопределенности вида .Для раскрытия неопределенности поделим числитель и знаменатель на

при

б)

Данное выражение представляет собой неопределенность вида .Умножим и разделим данное выражение на суммув результате придем к неопределенности вида .

при .

В этом примере мы использовали теорему о пределе корня ,если при любом натуральном m.

2)Найдите пределы функций:

а)

Так как числитель и знаменатель обратятся в нуль при x=3 ,то 3 корень обеия многочленов,а значит ,каждый из них резлагается на множетели,одним мз которых будет (x-3) .Получаем:

б)

Ответ получается непосредственно подстановкой вместо x .Получаем:

в)

Так как величины стоящие в числителе и знаменателе при являются бесконечно малыми величинами, т. е. мы имеем неопределенность вида ,следовательно можно воспользоваться правилом Лопиталя. Следует заметить ,правило Лопиталя можно применять неоднократно, если отношение производных снова дает неопределенность вида или .

г)

Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть:Таким образом ,при данная функция представляет собой степень,основание которой стремится к одному , а показатель к бесконечности (неопределенность вида ).Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел.

д)

Здесь мы получаем неопределенность вида ,чтобы найти предел этой функции пременим правило Лопиталя.Получаем:

е)

Здесь мы получаем неопределенность вида ,чтобы найти предел этой функции мы прийдем к неопределенности вида .И для решения используем правило Лопиталя.

3)Выделите главную часть вида бесконечно малой .

Подберем такие значения c и k, чтобы .

при к=2 и с=-1 равенство имеет место при .

4)Найдите все точки разрыва и исследуйте их характер для функций:

а)

Рассмотрим все случаи, при которых знаменатели превращаются в нуль:

В этих точках происходит разрыв,исследуем их характеристики

В точке ,следовательно в этой точке разрыв первого рода.

В точке x=2,7 оба предела различны и конечны ,функция имеет разрыв первого рода (скачок).

В точке x=1,3 оба предела различны и конечны ,функция имеет разрыв первого рода (скачок).

б)

x=-2 и x=2 точки разрыва.

X=-2 входит в промежуток

В точке x=-2 ,следовательно это точка устранимого разрыва.Т.е. достаточно изменить значение функции в этой точке,и функция станет непрерывной в точке .

x=3 и x=1 точки разрыва ,которые входят в промежуток .

В точке x=3 оба предела не имеют конечного предела, значит это разрыв второго рода.

В точке x=1 ,следовательно, функция непрерывна в этой точке.

В точке x=0 оба предела конечны и различны ,следовательно в этой точке мы имеем разрыв первого рода.

5)Найдите производные от данных функций.

а)

Воспользуемся свойством производной произведения нескольких функций получим:

Далее воспользуемся свойством производной алгебраической суммы нескольких функций ,которая равна алгебраической сумме их производной.

У первого слагаемого находим производную степенной функции производную дроби.Во втором слагаемом воспользуемся производной дроби.

б)

Это сложная функция,здесь имеем цепочку зависимостей:

в)

Это сложная функция ,здесь мы имеем цепочку зависимостей:

6)Дана функция

Найдите .Вычислите .

7)Докажите ,что функция удовлетворяет уравнению

Найдем частные производные :

Подставим значение частных производных в уравнение:

8)Функция задана неявно уравнением:

Вычислите :

а)

Продифференцируем по x данное уравнение:

б)

9)Дана функция .Найдите ее наибольшее и наименьшее значение на отрезке .

Для решения задачи достаточно вычислить значение функции в критических точках и на концах отрезка, а затем не проводя исследования на экстремум ,сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее значения.

Из уравнения находим стационарные точки:

10)Проведите полное исследование функции и постройте ее график.

10.1)Областью определения функции является множество всех чисел кроме (в этом случае знаменатель обращается в нуль ).

10.2)Функция нечетная ,так как ,и следовательно ее график симметричен относительно начала координат.Поэтому ограничимся осследованием только для

10.3)Функция не периодическая.

10.4)Т.к. только при ,то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.

10.5)Функция имеет разрыв второго рода в точке ,причем Попутно отметим,что прямая является вертикальной асимптотой.

10.6) Найдем точки экстримума.

На промежутке ,значит функция возрастает на промежутке .

В точке функция имеет минимум.

В точке функция имеет максимум.

10.7)Найдем точки перегиба.

Видим ,что только при ,при этом при и при ,следовательно,в точке (0,0) кривая имеет перегиб.Иногда направление вогнутости может изменится при переходе через разрыв кривой,поэтому следует выяснить знак и окло точек разрыва функции.В нашем случае на промежутке (-1,0) и на ,следовательно,на (-1,0) кривая вогнута и выпукла на .

10.8)Выясним вопрос об асимптотах.

Наличие вертикальной асимптоты установлено выше.

Ищем горизонтальные:

,горизонтальных асимптот нет .

Прямая ,наклонная асимптота ,если существуют пределы.

Это наклонная асимптома.

10.9)Теперь ,используя полученные данные, строим чертеж: