Контрольная работа 2 / 2- 3_Высшая математика_6

Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра высшей математики (ПрЭ)

Контрольная работа № 2

по дисциплине «Высшая математика»

Вариант 3

Выполнил:

специальности 200700

г.

г

1. Запишите общее уравнение прямой, проходящей через точку M(-2, 4) перпендикулярно прямой x+2y+5=0.

Найдите площадь треугольника, образованного данной прямой с осями координат.

Решение:

В качестве вектора нормали прямой, проходящей через точку M(-2, 4) перпендикулярно прямой x+2y+5=0, можно принять любой вектор, перпендикулярный вектору N₁(1, 2), например вектор N₂ (2, -1), (N₁, N₂) = 0.

По правилу 2:

Ax + By – (Ax₀ + By₀) = 0, где N = (A, B), M₀(x₀, y₀).

Записываем искомое уравнение

2x – 1y – (2(-2) + (-1)4) = 0,

2x – y + 8 = 0 – общее уравнение прямой.

Запишем уравнение прямой в виде y = kx + b.

Площадь треугольника, образованного данной прямой с осями координат равна .

y = 2x + 8,

кв.ед.

Ответ: 2x – y + 8 = 0 , 16 кв.ед.

2. Запишите общее уравнение прямой, проходящей через точку M(-2, 2) и отсекающей от первого координатного угла треугольник площадью S=4,5 кв. ед.

Решение:

Будем искать уравнение прямой в виде y = kx + b .

По условию .

Так как эта прямая проходит через точку M(-2, 2), то

.

Находим точки пересечения прямой с осями координат:

.

Площадь треугольника AOB равна ;

.

Имеем систему:

Так как то .

Искомое уравнение:

или

общее уравнение прямой.

Ответ:

3. Даны вершины треугольника A(2, 1, 0), B(3, -1, 1) и C(1, 2, -4). Запишите общее уравнение плоскости, проходящей через сторону AB перпендикулярно плоскости треугольника ABC.

Решение:

Плоскость треугольника ABC параллельна векторам l₁= AC = (-1, 1, -4) и

l₂= BC = (-2, 3, -5).

Вектор нормали:

N₁ = [l₁, l₂] =

N₁ = (7, 3, -1).

Искомая плоскость параллельна векторам AB = (1, -2, 1) и N₁ = (7, 3, -1).

N₂ = [AB, N₁] =

N₂ = (-1, 8, 17).

Уравнение плоскости:

Искомая плоскость проходит через точку A(2, 1, 0),

Искомое уравнение плоскости:

или

общее уравнение плоскости.

Ответ: .

4. Найдите расстояние от точки P(1, 2, 0) до прямой

.

Решение:

Расстояние от точки до прямой: , где

r₁ – радиус-вектор данной точки,

r₀ – радиус-вектор какой-нибудь точки прямой,

l – направляющий вектор прямой.

r₁ = (1, 2, 0),

r₀ = (8, 1, 0),

l = (3, -4, 0).

Ответ: 5.

5. Найдите длину отрезка, отсекаемого от оси ординат плоскостью, которая проходит через точку А(1, 1, 6) перпендикулярно вектору AB , где B – точка пересечения медиан треугольника, вершины которого совпадают с точками пересечения осей координат с плоскостью 12x + 6y + z – 24 = 0.

Решение:

Найдём координаты вершин треугольника.

Координаты точки R пересечения плоскости 12x + 6y + z – 24 = 0 с осью OX:

Координаты точки P пересечения плоскости 12x + 6y + z – 24 = 0 с осью OY:

Координаты точки Q пересечения плоскости 12x + 6y + z – 24 = 0 с осью OZ:

Координаты точки M медианы QM:

Координаты точки B, которая делит медиану QM в отношении :

Координаты вектора AB:

Уравнение плоскости, которая проходит через точку А(1, 1, 6) перпендикулярно вектору AB:

Координаты точки С пересечения данной плоскости с осью OY:

Длина отрезка PC оси ординат между обеими плоскостями:

Ответ: 32.

6. Две прямые параллельны плоскости 4x + 3y + 6z = 0. Первая прямая проходит через точку P(1, 2, 3) и пересекает ось абсцисс, а вторая – проходит через точку Q(3, 0, 0) и пересекает ось ординат. Найдите косинус острого угла между направляющими векторами этих прямых.

Решение:

Первая прямая пересекает ось абсцисс в точке M₁(x₀, 0, 0),

её направляющий вектор l₁ = PM₁ = (x₀-1, - 2, -3).

Вторая прямая пересекает ось ординат в точке M₂(0, y₀, 0),

её направляющий вектор l₂ = QM₂ = (-3, y₀, 0).

Так как векторы l₁ и l₂ параллельны плоскости 4x + 3y + 6z = 0, то они перпендикулярны вектору N = (4, 3, 6). Поэтому:

(l₁, N) = 0, (l₂, N) = 0.

l₁ = (6, - 2, -3), l₂ = (-3, 4, 0).

Косинус угла между векторами l₁ и l₂ :

Косинус острого угла между направляющими векторами l₁ и l₂:

Ответ: .

7. Найдите координаты центра C(x₀, y₀) окружности радиусом 5, касающейся прямой 3x + 4y – 6 = 0 в точке M(2, 0), если известно, что точка C расположена в первой четверти.

Решение:

Вектор MC = (x₀ – 2, y₀) параллелен вектору N = (3, 4). Поэтому:

или

или

Так как точка C расположена в первой четверти, то

Центром данной окружности является точка С(5, 4).

Ответ: С(5, 4).

8. Дана кривая 9x² – 4y² –18x + 56y – 223 = 0.

8.1. Докажите, что эта кривая – гипербола.

8.2. Найдите координаты её центра симметрии.

8.3. Найдите действительную и мнимую полуоси.

8.4. Запишите уравнение фокальной оси.

8.5. Постройте данную гиперболу.

Решение:

1) Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты:

Положим .

Тогда получим каноническое уравнение гиперболы:

2) Координаты её центра симметрии:

Точка центр симметрии гиперболы.

3) Действительная полуось ,

мнимая полуось .

4) Фокальной осью является прямая:

5) Для построения гиперболы строим в системе XOY новую систему X₁O₁Y₁, в которой строим данную гиперболу.

Y Y₁

O₁

X₁

y = 7

X

1

O

9. Дана кривая x² + 2x – 2y + 5 = 0.

9.1. Докажите, что данная кривая – парабола.

9.2. Найдите координаты её вершины.

9.3. Найдите значение её параметра p.

9.4. Запишите уравнение её оси симметрии.

9.5. Постройте данную параболу.

Решение:

1) Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты:

Положим .

Тогда получим каноническое уравнение параболы:

.

2) Координаты её вершины:

Вершина параболы – точка О₁(-1, 2).

3)

4) Осью симметрии является прямая:

5) Для построения параболы строим в системе XOY новую систему X₁O₁Y₁, в которой строим данную параболу.

X₁ Y

Y₁ O₁

2

-1 O X

10. Дана кривая 8x² + 17y² + 12xy – 28x – 46y = 43.

10.1. Докажите, что эта кривая – эллипс.

10.2. Найдите координаты центра его симметрии.

10.3. Найдите его большую и малую полуоси.

10.4. Запишите общее уравнение фокальной оси.

10.5. Постройте данную кривую.

Решение:

1) Приведём к главным осям квадратичную форму

.

Так как , то эта кривая – эллипс.

2) Найдём собственные векторы матрицы B.

Для получаем систему:

.

Полагая , найдём единичный собственный вектор:

,

.

Базис принят правым.

Переходим от базиса (O, i, j) к (O₁, i₁, j₁).

Матрица перехода имеет вид:

Новые координаты (x₁, y₁) связаны со старыми (x, y) соотношениями:

В новой системе координат уравнение кривой имеет вид:

Совершим параллельный перенос осей координат в новое начало О₁:

В системе координат (O₁, i₁, j₁) эллипс имеет уравнение:

Координаты центра его симметрии:

О₁(1, 1) – центр симметрии эллипса.

3) Большая полуось a = 4,

малая полуось b = 2.

4) Фокальной осью является прямая:

5) Для построения эллипса строим в системе XOY новую систему X₂O₁Y₂, в которой строим данный эллипс.

Y

Y₂

2

-4

O₁

1

O 1 X

-2 4

X₂

12