Томский университет систем управления и радиоэлектроники.

Контрольная работа №2 по математике.

Вариант 2.10

Выполнил:

студент гр

факультет ЭТ

2001г.

1. В прямоугольном треугольнике даны: вершина острого угла А(7,-2) и уравнение 3x-5y+15=0 одного из катетов. Записать общее уравнение другого катета.

Решение:

В качестве нормали катета 3x-5y+15=0 можно принять любой вектор перпендикулярный вектору N₁(3,-5) например вектор N₂(5,3) ((N₁,N₂)=0).

Записываем искомое уравнение:

5x+3y-(5*7-3*2)=0 или 5x+3y-29=0

Ответ: уравнение второго катета: 5x+3y-29=0.

2. Высота проведённая из вершины А(4,4) треугольника ABC, пересекает прямую ВС в точке D(1,1). x+2y+1=0 - уравнение высоты, опущенной из вершины В. Определить координаты x₀,y₀ вершины С.

Решение:

1) Находим общее уравнение прямой ВС:

Нормалью к ВС является AD (1-4,1-4)=(-3,-3); D(1,1)-точка лежащая на прямой ВС

=> BC -3x-3y-(-3*1-3*1)=0

-3x-3y+6=0;

2. Находим общее уравнение прямой АС:

Т.к. у высоты x+2y+1=0 опущенной из точки В вектор нормали равен (1,2)(2,-1).

Следовательно нормаль к прямой АС будет (2,-1). А (4,4) является точкой на прямой АС.

=> AC 2x-y-(2*4-1*4)=0

2x-y-4=0;

2. Находим точку С как пересечение прямых АС и ВС:

Решаем систему из уравнений прямых АС И ВС

Ответ: С(2;0).

3. Записать общее уравнение плоскости, которая проходит через точку M₀(1,2,3) и ось OY.

Решение:

Исходя из данных искомая плоскость  оси OY, т.е. || вектору j(0,1,0) и вектору ОМ₀(1,2,3), где O(0,0,0)-начало координат.

Находим: =-3x+z+0=-3x+z=0

Ответ: -3x+z=0.

4. Найти значение параметра m в уравнении прямой

, если известно, что эта прямая параллельна плоскости x+4y+3z+5=0.

Решение:

Из уравнения можно получить уравнения двух пересекающихся плоскостей:, откуда видно, что N₁=(1,0,0) и N₂=(0,m,18)

Из уравнения плоскости x+4y+3z+5=0 находим N=(1,4,3) т.е. NN₁, значит прямая их пересечения будет  прямой , найдём уравнение данной прямой:

, т.к. D₁ = 0, то можно Z взять в качестве свободного члена и записать:

Находим общее решение для двух систем параллельных прямых:

В системе выражаем x и y через z:

x=-4y-3z-5

-4y-3z-5=0

y=; пологая z=t записываем параметрическое уравнение: , откуда находим направляющий вектор ₁ (0,,1).

Тоже делаем и для системы :

Получаем общее решение , полагая z=t записываем параметрическое уравнение: , откуда находим направляющий вектор  (0,,1).

Т.к. ₁ то верно равенство: x-kx₁=y-ky₁=z-kz₁=0 , подставляя значения x и z находим k=1, следовательно:

Ответ: m=24

5. Найти длину отрезка, отсекаемого от оси аппликат плоскостью, проходящей через точки P₁(2,10), P₂(1,0,4) и пересекающей оси ординат и абсцисс в точках А₁(0,а,0), А₂(а,0,0).

Решение:

Вся задача сводится к нахождению z₀ – точки пересечения плоскости с осью аппликат.

Сначала находим уравнение плоскости. Для этого возьмём на ней две прямые с лежащими на них точках P₁P₂ и A₁A_2. Найдём направляющие этих прямых:

₁ = P₂ –P₁ =(1-2,0-1,4-0)=(-1,-1,4) – направляющий вектор прямой P₁P₂ ;

₂ = A₂ –A=(а-0,0-а,0-0)=(а,-а,0) – направляющий вектор прямой A₁A_2.

Чтобы найти уравнение плоскости необходимо найти нормаль к ней.

N=_1,₂=4ai+4aj+2ak; N=(4a,4a,2a)  (2,2,1)

Запишем общее уравнение плоскости: 2x+2y+z+C=0. За точку на плоскости возьмём P₁

тогда 2*2+2*1+1*0+С=0, С=-6

2x+2y+z-6=0 - общее уравнение плоскости. Так как точка Z(0,0,z₀)принадлежит данной плоскости, то подставляем её значение в уравнение:

2*0+2*0+z₀-6=0

z₀=6

Ответ: длина отрезка 6.

6. Найти координаты точки пересечения прямой ==z с плоскостью, содержащей прямые =, .

Решение:

Для нахождения пересечения прямой и плоскости необходимо узнать уравнение плоскости. Прямые находящиеся на данной плоскости – параллельны, т.к. их направляющие вектора равны. Уравнение плоскости можно найти если взять одну из двух прямых и прямую проходящую через них. Найдём данную прямую:

На прямой = возьмём точку М₁ (-1,0,1), а на прямой точку М2 (-1,-1,-1). В качестве направляющего вектора примем =М1М2 = (0,-1,-2).

В качестве точки на прямой возьмём М₁(-1,0,1). Получаем каноническое уравнение:

- параметрическая форма.

Найдём нормаль плоскости: N=[,₁], где ₁=(2,3,4), =(0,-1,-2).

N=-2i+4j-2k || (1,-2,1).

Запишем уравнение плоскости: x-2y+z+C=0, т.к. М₁(-1,0,1)принадлежит данной плоскости то получаем: 1-0-1=C, C=0.

x-2y+z=0 – общее уравнение плоскости.

Найдём точку пересечения прямой ==z и плоскости x-2y+z=0

Преобразуем уравнение прямой параметрическое: .

Найдём то значение t при котором точка М(3t,12t,t) удовлетворяет плоскости x-2y+z=0.

Подставим значения: 3t-2*12t+t=0, t=0. Полагая в параметрическом уравнении t=0 получаем точку пересечения прямой и плоскости М(0,0,0)

Ответ: Точка пересечения прямой и плоскости (0,0,0).

7. Найти радиус сферы с центром в точке С(-1,-2,3), если она касается плоскости

2x-2y+z+10=0.

Решение:

Радиус данной сферы можно найти по формуле (x+1)²+(y+2)²+(z-3)²=R²

Необходимо найти точку (x,у,z) соприкосновения сферы и плоскости.

В плоскости 2x-2y+z+10=0 вектор нормали N=(2,-2,1) в тоже время является направляющим вектором прямой СМ, где С - центр сферы; М – тоска касания плоскости и сферы. Найдём уравнение данной прямой:

- каноническая форма;

- параметрическое уравнение.

Находим точку М как пересечение прямой СМ и плоскости 2x-2y+z+10=0.

Т.к. М (2t-1,-2t-2,3+t) лежит в данной плоскости, то её координаты удовлетворяют её уравнению => 2(2t-1)-2(-2t-2)+ 3+t+10=0; 4t-2+4t+4+3+t+10=0; 9t+15=0; t=

Подставляем значение t в параметрическое уравнение:

, отсюда М= ()

Подставляем значение М в формулу R:

Ответ: R=5

8. Дана кривая 4x²+9y²-32x-18y+37=0. Доказать, что кривая – эллипс. Найти координаты центра его симметрии. Найти его большую и малую полуоси. Записать уравнение фокальной оси. Построить данную кривую

Решение:

Выделяем полный квадрат 4(x-4)²+9(y-1)²=16*4-37=36

Введём новые переменные: x₁=x-4, y₁=y-1

тогда или - данное уравнение определяет эллипс.

Из уравнения найденного выше видим, что центр симметрии находится в точке (4,1)

Большая полуось , малая полуось

9. Дана кривая y²-4y+10x+14=0. Доказать, что данная кривая – парабола. Найти координаты её вершины. Найти значение её параметра p. Записать уравнение её оси симметрии. Построить данную параболу.

Решение:

Выделяя полный квадрат, получаем: (y-2)²+10x+10=0. Если положить y₁=y-2, x₁=-10x-10 то уравнение приводится к виду . Сравнивая последнее уравнение с каноническим уравнением параболы, находим, что 2р=10 и р=5. Вершина параболы находится в точке (2,-1).

10. Дана кривая 7y²+24xy+24x+62y+199=0. Доказать, что данная кривая – гипербола. Найти координаты её центра симметрии. Найти действительную и мнимую полуоси. Записать уравнение фокальной оси. Построить данную гиперболу.

Решение:

Квадратичная форма данной кривой В(x,y)=7x²+24xy, отсюда:

Решаем характеристическое уравнение матрицы квадратичной формы

; Решив квадратное уравнение получим ₁=16, ₂=-9.

т.к. ₁*₂<0 то кривая гипербола. Находим собственные векторы матрицы В. Для собственного числа ₁=16 получаем систему Эта система имеет бесконечное множество решений. Выбираем любое целочисленное число ₁=4 ₂=3.

Вектор Р₁=(4,3) –соответствует собственному числу ₁=16. Найдём координаты орта Р₁₀ вектора Р₁, получаем Р₂₀=(). Выбираем правый базис для новой системы координат, это будет (Р₁₀ ,Р₂₀).

От старого базиса переходим к новому. Матрица перехода имеет вид:

Q=

Новые координаты связанны со старыми соотношением

В новой системе координат уравнение гиперболы принимает вид:

или

. Выделяя полные квадраты получаем:      или

Видим, что действительная полуось а=11,482, а мнимая b=20,412.

Произведём преобразование параллельного переноса системы координат в новое начало О₁ по формулам или

В системе координат (O₁,w,z) гипербола имеет уравнение , оси O₁w, O₁z направлены по прямым , . Координаты точки О₁ являются центром симметрии гиперболы, находим, решая систему . Получаем x=-2,583 y=0,507, O₁(-2,583, 0,507). Для построения гиперболы строим в старой системе координат новую систему координат, в которой строим данную гиперболу.