Задание № 10.

Дана кривая

1. Доказать, что эта кривая – гипербола.

2. Найти координаты ее центра симметрии.

3. Найти квадраты ее действительной и мнимой полуосей.

4. Записать общее уравнение фокальной оси.

5. Построить данную гиперболу.

Решение:

1. Квадратичную форму приводим к главным осям. Для

этого записываем матрицу этой квадратичной формы и находим

ее собственные числа и собственные векторы. Записываем и решаем характеристическое уравнение матрицы В:

Т ак как собственные числа имеют разные знаки, то данное уравнение определяет кривую гиперболического типа. Находим собственные векторы матрицы В. Для собственного числа получаем систему

отсюда

Полагая , найдем единичный собственный вектор

По свойству собственных векторов симметрического оператора второй собственный вектор ортогонален вектору . Выберем вектор

таким образом, чтобы базис был правым.. От старого базиса (0, i, j) перейдем к новому базису .

Матрица перехода имеет вид

Старые координаты (x, y) связаны с новыми соотношениями

2. В новой системе координат уравнение примет следующий вид:

. Выделяя полные координаты,

получаем

гипербола сопряженная гиперболе

3. Видим, что действительная полуось , а мнимая b=1.

4. Координаты центра симметрии. Произведем преобразование параллельного переноса системы координат в новое начало по формулам:

или

В системе координат гипербола имеет уравнение . Оси

направлены по прямым x+y+1=0, x+y-3=0. Координаты точки ,

являющиеся центром гиперболы, находим, решая систему

Получаем x=-2, y=1 , (-2,-1). Фокальной осью является прямая ,

-x+y-3=0. Для построения гиперболы строим в старой системе новую систему координат, в которой строим данную гиперболу.

Асимптоты - асимптоты

Построим гиперболу

, а затем ей сопряженную т.е. поменяем мнимую и действительную полуоси.

График

y

Извините за неточности в графике

-1 3

+0,7

2

1

-0,7 +1

0

x

-2 -1 1 2

-1

-2