Задание № 6

Две грани куба лежат на плоскостях 3x-6y+2z-5=0 и 3x-6y+2z-30=0. Вычислить объем куба.

Решение:

Данные плоскости параллельны т.к. у них:

Найдем расстояние между плоскостями. Пусть тчк. А  одной из плоскостей ;

Найдем расстояние d от точки А до плоскости, заданной уравнением

3x-6y+2z-30=0. Найдем нормирующий множитель:

Нормальное уравнение плоскости

Ответ:

Задание № 7

Доказать, что уравнение , определяет сферы. Найти координаты , ее центра и радиус R.. В ответе записать четверку чисел .

Решение:

Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты:

. Следовательно, данное уравнение определяет сферу с

центром в точке С (2; -3; 4) радиуса

Ответ: С (2, -3, 4, 8).

Задание № 8

Дана кривая

1. Доказать, что эта кривая – эллипс.

2. Найти координаты центра его симметрии.

3. Найти его большую и малую полуоси.

4. Записать уравнение фокальной оси..

5. Построить данную кривую.

Решение:

Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты:

1. Выдели новые переменные:

тогда

или

или - уравнение эллипса.

2. Центр его находится в точке (7,0).

3. Большая полуось A = 4, малая B = 5.

4. Уравнение фокальной оси y=0

5. Эллипс расположен внутри прямоугольника, стороны которого расположены на прямых x=3 и x=11 y=±5

График

Y

5

4

3

2

1

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 X

-1

-2

-3

-4

-5

Задание № 9

Дана кривая

1. Доказать, что данная кривая – парабола.

2. Найти координаты ее вершины.

3. Найти значение ее параметра р.

4. Записать уравнение ее оси симметрии.

5. Построить данную параболу.

Решение:

- уравнение параболы;

1.

уравнение этого вида так же является параболой, и только теперь ось параболы будет параллельна оси oy.

2. Вершина параболы

3. P = 7

4. Уравнение оси симметрии x=8

фокус находится от вершины на расстоянии

Значит координаты фокуса т.к. ветви направлены вверх

График

y

3,5

-8 8 x

-3,5

Извините за неточности в графике.

Чем меньше a, тем ближе фокус к вершине, тем больше раствор параболы в раз.