Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ

УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

 

Кафедра информатика в экономики

 

  

Контрольная работа № 2

Высшая математика I

Л.И. Магазинников

_____________________________________________

(Фамилия и инициалы студента)

______________________________________________

(почтовый адрес для иногородних)

 

 

 

 

Дата выполнения работы _____________________

Дата проверки _______________________________

Оценка ______________________________________

ФИО преподавателя __________________________

Подпись преподавателя ________________________

200

Задание №1

Записать общее уравнение прямой, проходящей через точку М(2, 4) перпендикулярно прямой 3x+4y+5=0

Решение:

Д ля решения этого задания используем формулу:

В качестве вектора нормали L можно принять любой вектор, перпендикулярный вектору , например вектор . Записываем искомое уравнение -4x+3y-(-4*2+3*4)=0, или -4x+3y-4=0.

Ответ: -4x+3y-4=0.

Задание № 2

Составить уравнения прямых, проходящих через точку Р (3, 5) на одинаковых расстояниях от точек А(-7, 3) и В(11, -15). В ответ ввести уравнение той прямой, которая отсекает от осей координат треугольник, расположенный в первой четверти.

Решение:

Д ля решения этого задания будем использовать следующую формулу:

Будем искать уравнение в виде Ax+By+C=0. Так как эта прямая проходит через тчк. Р, то 3А+5В+С=0. Прямая Ax+By+C=0 находится на одинаковом расстоянии от точек А(-7, 3) и В (11, -15). Используя формулу, получаем

, или

-7A+3B+C=± (11A-15B+C). Для отыскания неизвестных коэффициентов A, B, C получаем две различные системы:

а) б) . Общее решение системы а можно

записать в виде .Находим искомое уравнение Bx+By-8B=0 или, так как

B≠0, x+y-8=0.

Теперь получим общее решение системы б:

. Теперь общее уравнение искомой прямой можно записать в виде

-12Bx+By+30B=0, или 12x-y-30=0.

Ответ:12x-y-30=0

Задание № 3

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки и

параллельно вектору АВ = (4, -3, -2).

Решение:

Т.к. искомая плоскость параллельна вектору - вектору нормали данной плоскости - и вектору поэтому вектор нормали N искомой плоскости находится из условия

т.е. N =(1;2;-1).

Записываем уравнение плоскости x + 2y – z + C = 0. Т.к.плоскость проходит через точку , то 4 + 4 - 1 + С = 0, С = - 7. Искомое уравнение имеет вид x + 2y - z - 7 = 0

Ответ: x + 2y - z - 7 = 0

Задание № 4

Найти координаты проекции начала координат на прямую

Решение:

За координаты точки, которые необходимо найти возьмем Q, за начало координат P (0; 0; 0), а за направляющий вектор L, плоскость возьмем как П.

Каоническое уравнение приведем к параметрическому уравнению прямой, положим x=t и выразим неизвестные y и z через t.

Направляющий вектор L (4; 3; -2) можно принять в качестве вектора нормали плоскости П.

Записываем уравнение плоскости П: 4x+3y-2z+d=0,

(поскольку точка Р лежит в плоскости П), d=0.

Уравнение плоскости П: 4x+3y-2z+0=0.

Находим точку пересечения прямой параметрического уравнения с плоскостью П:

Из параметрического уравнения прямой находим координаты точки Q:

Следовательно, Q (9; 4; -5).

Ответ: Q (9; 4; -5).

Задание № 5

При каком значении параметра С прямая параллельна плоскости x+3y+Cz-2=0.

Решение:

Приведем две прямые к каоническому виду. Т.К.

, то неизвестное у системы можно принять в качестве свободного и записать:

Пусть уравнение данной прямой в каоническом виде.

Прямая параллельна плоскости в том том случае, когда ее направляющий вектор перпендикулярен нормальному вектору плоскости. Отсюда получаем:

Ответ: при С=-2.