Контрольная работа 2 / 2- 4_Высшая математика

Министерство образования

Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Контрольная работа №2

по дисциплине «Высшая математика»

Вариант №4

2004 г.

Вариант 3,4

3. Найдите пределы последовательностей:

а) (C104) === -1.

б)(4Г22).==

==== - 1.

4. Найдите пределы функций:

а) (ОД4). = ===

== -.

б) (C744). = ==2.

в) (9652). ==== =4.

г) (ДС73). ===e³.

д) (Д981). (2x-1)ln=ln=ln=

=ln====0.

е) (284). ===1.

5. (6Д91.РП). Выделите главную часть вида c(x-1)^k бесконечно малой а(х)=(x³-1) sin(x²-1) при х→1. В ответ ввести сначала с, затем к.

Решение:

а(х)= sin (x²-1)

=6(x-1)²

Главная часть бесконечно малой а(х) будет

С(х-1)^к=6(х-1)².

6. Запишите все точки разрыва (слева направо), указывая следом за точкой тип разрыва (1,2,у), для функций:

а) (3604.РП) f₁(х)=

Функция f₁(х) состоит из суммы двух функций:

F₁₁= Функция определена на всей числовой оси за исключением точек х₁=-2, х₂=2. В этих точках функция терпит разрыв. Вычислим односторонние пределы функции f₁₁ в этих точках и определим разрыв.

f₁₁(x)= ===1

f₁₁(x)= =(-1)

В точке х=-2 имеет разрыв первого рода «скачек»

f₁₁(x)= =1 =-(1/0)= - ∞

f₁₁(x)= ==∞

В точке х=2 функция терпит разрыв второго рода

F₁₂=. Функция определена на всей числовой оси за исключением точки х=0.

f₁₂==3=3

так как первый замечательный предел он равен 1 независимо стороны приближения к х=0 при вычислении предела.

В точке х=0 функция f₁₂ имеет устранимый предел.

Ответ:х=-2 скачек (разрыв 1 рода)

Х=0 прокол – устранимый разрыв.

Х=2 разрыв 2 рода

Вариант – 4,5

1. Найдите производные от данных функций:

а) у=, (184) у′(0.01);

y^'=

y^'=(0.01)== -7200.

б) у=2^xe^-x+x, (TO4) у′(0);

y^'=ln2^.2^xe^-x+2^x(-1)e^-x+1

y^'(x)=ln2^. 2⁰e^-0+2⁰(-1)e^-0+1=ln2-1+1=ln2.

в) у=, (CT4) у′(0).

y^'==.

y^'(0)===1.

2. Дана функция у=e(xln²x-2xlnx+2x).Найдите .(C54).Вычислите (e).

Решение:

y'_x=e(ln²x+x^.2lnx-(2lnx+2x)+2)=e (ln²x+2xlnx-2lnx-2+2)=e lnx(lnx+2x-2)

=e=e=

=2e

==

=2e

(e)= =2e=8e-2

(e)=8e-2

4. Докажите, что функция z=cos (xy) удовлетворяет уравнению y²=0.

= - x sin (xy), = - x² cos (xy)

= - y sin (xy), =-y² cos (xy)

y²- x²=-y²x²cos(xy)+y²x²cos(xy)=0

Ответ: функция z=cos (xy) удовлетворяет уравнению y²=0.

8. Функция z=z(x,y) задана неявно уравнением х²+2y²-3z²+xy-z-3=0.

х²-2y²-3z²+xy-z-3=0

= - = - ; = -

При х=1, у= - 2, z=1.

= =.

12. Дана функция y=. Найдите ее (С74) наибольшее и (CCA) наименьшее значение на отрезке .

y^'=

При действительных х, х²-2х+5>0

Функция определена на всей числовой оси и не имеет разрывов.

y^'=

- 4х²+8х+12= - 4(x²-2x-3)=0

Уравнение х²-2х-3=0 имеет два корня

Х₁= -1, х₂=3 причем х₁;х₂Є[-3,3]

В этих точках функция у(х) имеет экстремумы. У₁=

У₂=

Найдем значение функции у(х ) в точке х= -3

У(-3)=

Наибольшее значение функции у в точке х=3 где у =3

Наименьшее значение функции у в точке х= - 1 где у =1

Оба значения находятся в точках экстремума.

14. Проведите полное исследование функции y=и начертите ее график.

y==

Функция у(х) определена на всей числовой оси за исключением точки х=0

== - ∞

В точке х=0 функция имеет вертикальную асимптоту. Область определения функции

(-∞,0) U (0,+ ∞)

Область значений функции необходимо уточнить.

Минимум функции (наименьшее значение в точке разрыва) = - ∞

Найдем экстремумы функции

у^'=

у^'= -2х+2=0; х=1

у максимум

Область значений функции (-∞;1)

Функция f(x) общего положения

К=

B=f(x)=

Функция f(x) не имеет наклонных асимптот

Функция f(x) имеет горизонтальную асимптоту

у=0

у^''=f^''(x)=2=

2x-3=0; х=- точка перегиба

(-∞;0) у^''<0 функция f(x) выпукла вверх

(0;) у^''<0 функция выпукла вверх

у^''=0 Точка перегиба

(;+∞) у^''>0 Функция f(x) выпукла вниз.

Для удобства построения графика полученные данные, а также значения функции 1 некоторых точек, занесем в таблицу

х	0	1
у	-∞	1
	Разрыв	Мах	Перегиб

х	(-∞;0)	(0;1)	(1;+∞)
у	убывает	возрастает	убывает

х	(-∞;0)	(0; )	(;+∞)
у	Выпукла вверх	Выпукла вверх	Выпукла вниз

Х=, у=0 График пересекает ось ох

Асимптоты: х=0, у=0

На основании этих данных строим график функции.