Контрольная работа 2 / 2- 7_Высшая математика ()

10

Министерство образования

Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

по дисциплине « Высшая математика- 1 »

автор пособия Ерохина А.П., Байбакова Л.Н.

ВАРИАНТ №7

Задание:

1. Найдите пределы последовательностей:

а) ; б) (-n).

2. Найдите пределы функций:

а) ; б) ; в) (·ctg2x;

г) ; д) ; е) .

3. Выделить главную часть вида с(х-2) бесконечно малой a(x)=+(x-2) при х2.

4. Найдите все точки разрыва и исследуйте их характер для функций:

а) (x)=+; б) f(x)=

5. Найти производные от данных функций:

а) у=-, у`(0);

б) у= arcsin7x-, y`(0);

в) у=(arcsin4) ln arctg 4x+5-(5ln5)x, y`(1).

6. Дана функция у=ln. Найти у". Вычислить у"(2).

7. Докажите, что функция z = xe удовлетворяет уравнению:

x=2xy+y=0.

8. Функция z=z(x,y) задана неявно уравнением:

х- 2у+ 3z- yz + y = 0.

Вычислите: а) (1.1,0); б) (1,1,0).

9. Дана функция у=х-4+5. Найдите её наибольшее и наименьшее значение на отрезке [1,9].

10. Проведите полное исследование функции у= и постройте её график.

Содержание:

Титульный лист……………………………………………………………1

Задание……………………………………………………………………..2

Содержание………………………………………………………………..3

Решение:

Задача № 1…………………………………………………………….4

Задача № 2…………………………………………………………….4

Задача № 3…………………………………………………………….5

Задача № 4…………………………………………………………….5

Задача № 5………………………………………………………….4

Задача № 6………………………………………………………….4

Задача № 7………………………………………………………….4

Задача № 8………………………………………………………….4

Задача № 9………………………………………………………….4

Задача № 10………………………………………………………

Решение:

1. Найдите пределы последовательностей:

а)

Решение: ==2.

Ответ: 2.

б) (-n)

Решение: (-n)=()= =

=== =

== 3.

Ответ: 3.

2. Найдите пределы функций:

а)

Решение: =

Ответ: ;

б)

Решение: = = = = .

Ответ: ;

в) (·ctg2x

Решение: (·ctg 2x = (·= = = ·=

=· = ·1· =

Ответ: ;

г)

Решение: e= e ()= e1+)= e(1+) т.к. х0,

то -х и , поэтому (1+)=е и предел становиться равен

Ответ: 1;

д)

Решение: = =

== ==6

Ответ: 6;

е)

Решение:

=

Ответ: 3.

3. Выделить главную часть вида с(х-2) бесконечно малой a(x)=+(x-2) при х2.

Решение:

т.к. sin α~α при α→0, то (2+x)(2-х) ~ 4(2-х), sin(4-x)~(4(2-x))при х2

ln(1+(2-x)) ~ 2-x при х0

= =

= следовательно, порядок малости равен 1, а главной частью будет

Ответ: ; 1.

4. Найдите все точки разрыва и исследуйте их характер для функций:

а) (x)=+

Решение:

а) (x)=+;

точки подозреваемые на разрыв 0,1. Найдём пределы в этих точках

1) ƒ(х) = += --1 = -

ƒ(х) = += -1 = -

х = 0 (1)

2) ƒ(х) = += - = -sin2 -

ƒ(х) = + = -sin2 -

x = -1 (y)

3) ƒ(х) = += -

ƒ(х) = + = +

x = 1

Ответ: 0(1), -1(у), 1(2).

б) f(x)=

Решение:

х- 4 = 0 => х = ≠2 -2(-; 0

х -5х + 4 = 0 => х = 1, х = 4, (0;+)

0(1),-2,1,4-точки, подозреваемые на разрыв

1) ƒ (x) = = -

ƒ (x) = = 0

2) ƒ (x) = = -

ƒ (x) = = -

3) ƒ (x) = = = -

ƒ (x) = = -

4) ƒ (x) = = -

ƒ (x) = = +

Ответ: х = 0(1); -2 (у); 1 (у); 4 (2).

5. Найти производные от данных функций:

Решение:

а) у=- у`(0)

у´=()´- ( )´ = - =

= - = - =

=- ;

y`(0) = - =1-1 = 0.

Ответ: 0.

б) у= arcsin7x-, y`(0)

y` =(arcsin7x)`- ()` = 2arcsin7x · · 7 - =

=-

y`(0) = - = - = 0+8 = 8.

Ответ: 8.

в) у=(arcsin4) ln arctg 4x+5-(5ln5)x, y`(1).

Решение: arctg 4 – const, 5 ln 5 – const.

y`= (arctg 4) (ln arctg 4x)` + (5x) – (5 ln 5)· x`= arctg 4 ···4 +

+ 5ln 5 – 5 ln 5= + 5- 5 ln 5.

Y`(1) = + 5 ln 5 - 5 ln 5=

Ответ: .

6. Дана функция у=ln. Найти у". Вычислить у"(2).

Решение: y"=(y`)`

y` = ··= ·· =

y"= (y`)`= - т.к

y"(2) = - = -

Ответ:-.

7. Докажите, что функция z = xe удовлетворяет уравнению:

x=2xy+y=0.

Решение: Найдём , , и подставим в уравнение.

Z =x · e