Текстовая контрольная работа по математике.

Контрольная работа N 2.

Вариант 1.

Учебное пособие Высшая математика Часть 1

Ерохина А.П., Байбакулова Л.Н.

Бортникова Наталья Викторовна. Uc061bnv 18453615

г.Удачный.

Республика Саха-Якутия, Мирнинский район, Н-город 21-117

1.Найдите пределы последовательностей:

а).

б) .

2.Найдите пределы функций:

а)

=

б)

найдём односторонние пределы:

не существует, т.к. у функции разные односторонние пределы.

в)

=

.

г)

второй замечательный предел

.

д)

следствие второго замечательного предела:

=

замена ; ; .

=.

е)

следствие второго замечательного предела:

=

3.Выделите главную часть вида бесконечно малой

Найдём при каких и будет =1.

если ,,то

ответ:,т.к.

4.Найдите все точки разрыва и исследуйте их характер для функций:

а)

функция не определена в точках ,

определим тип разрыва, найдем предел слева и справа.

х=0

Предел справа:

;

Предел слева:

;

точка разрыва 1 рода.

Исследуем

точка разрыва 2 рода.

Х=2

;

точка устранимого разрыва.

б) в точке не определена

исследуем эту точку на характер разрыва:

; точка устранимого разрыва

при не определена.

точка разрыва 2 рода.

5.Найти производные от данных функций:

а)

б)

.

в)

6.Дана функция .

Найдите . Вычислите .

=

;

.

7.Докажите, что функция удовлетворяет уравнению .

;

.

8.Функция задана неявно уравнением:

Вычислите: а) б).

;

.

.

9.Дана функция . Найдите её наибольшее и наименьшее значение на отрезке .

Функция принимает наибольшее, наименьшее значения либо в критических точках, либо на концах отрезка.

Найдем критические точки:

критическая точка

Найдем значение функции в критической точке и на концах отрезка

наибольшее=4, а наименьшее=-4.

10.Проведите полное исследование функции и постройте её график.

1)Область определения:

2)Решим вопрос о чётности

функция чётная, график симметричен относительно оси .

3)Исследуем на периодичность. Периодичности нет.

4)Точки пересечения с осями координат:

таких нет, с осью не пересекается

5)Точки разрыва функции

точка разрыва 2 рода.

6)Проведем исследования на экстремум.

.

Определим знак производной в каждом интервале.

Функция вырастает на и ,

Убывает на и .

7)Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости.

=;

корней нет.

критических точек нет.

Исследуем область определения.

Выпуклый на и и , точек перегиба нет.