Добавил:

Oksana Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Контрольная работа 2 / 2- 4_Высшая математика_5

.doc

Скачиваний:

145

Добавлен:

22.06.2014

Размер:

175.62 Кб

Скачать

☆

Министерство образования РФ

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

ТМЦ ДО

Контрольная работа №2

по дисциплине «Высшая математика-1»

авторы: Л. И. Магазинников

А. Л. Магазинникова

V= (10*45) div 100=4

Выполнил:

студент ТМЦДО

специальности

№1. (781.РП). Составьте общее уравнение прямой, если точка P(2,5) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.

Решение:

M(0,0) P(2,5).

Искомая прямая ортогональна вектору MP(2, 5).

Теперь по правилу 2 находим искомое уравнение: 2х+5у-(2*2+5*5)=2х+5у-29=0.

Ответ: 2х+5у-29=0.

№2 (882.БЛ). Запишите общее уравнение прямой, параллельной прямой 4х+2у+5=0 и отсекающей от первого координатного угла треугольник площадью 9 кв. ед.

Решение:

Из параллельности прямых следует равенство их векторов – нормалей N(4,2). Найду уравнение прямой в виде у=кх+b т. к. , и , и площадь треугольника отсекаемого искомой прямой равна S=. По условию задачи S=9 имею уравнение:

S=,

C=12.

Искомое уравнение прямой равно у=-2х+6, отсюда у+2х-6=0.

Ответ: у+2х-6=0.

№3.(5А3.РП). Запишите общее уравнение плоскости, проходящей через точку М(4, -1, 3) параллельно оси ОХ и перпендикулярной к плоскости х-3у+4z-5=0.

Чтобы найти уравнение плоскости нужно найти вектор нормали и точку лежащую на плоскости. Так как плоскость параллельна ОХ т. е. вектору М0(1, 0, 0) и по условию направляющим для нее будет вектор М1(1, -3, 4).

Значит вектор нормали равен М0М1(0, 4, 3).

Составлю уравнение плоскости , для этого найду коофициент

D=-(Ax+By+Cz)

D=-(0-4+9)=-5.

уравнение плоскости соответственно равно 4у+3z-5=0.

Ответ: 4у+3z-5=0.

№4. (2Д2). Найдите длину отрезка, отсекаемого от оси ординат плоскостью, содержащей прямую

и параллельной вектору а=(1, 0, 2).

Чтобы найти расстояние отсекаемое от оси ординат плоскостью найду уравнение плоскости, зная два вектора параллельных плоскости и точку лежащую на этой плоскости пересекающей ось ординат:

=<=> 6(х-1)+4(у+1)-3(z+8)-2(y+1)=0

6x-6+2y+2-3z-2y=0,

6x+2y-3z-28=0.

Деля все уравнение плоскости на отрезки получу уравнение плоскости в отрезках откуда и найду искомую величину отрезка отсекаемого от оси ординат:

Из уравнения видно что искомой величиной является 14.

Ответ: 14.

№5.(576). Прямая, проходящая через точку Р(1, 2, 3) и пересекающая ось аппликат в точке (0, 0, z), параллельна плоскости 2х+у+z+6=0. Найдите z.

Решение:

Прямая проходит через две точки Р(1, 2, 3) и (0, 0, z), найду геометрический вектор параллельный прямой и равный N(1, 2, 3- z), найду вектор нормали для плоскости I(2, 1, 1), отсюда следует значение z, при котором векторы N I.

2+2+3- z=0,

z=7.

№6(712.РП). Найдите координаты точки пересечения с плоскостью х=1 прямой(l), перпендикулярной плоскости 4x+2y+4z+5=0 и пересекающей две заданные прямые x+1=y=z(l) и 2x=2y=z+4(l).

1.Так как прямая перпендикулярна плоскости то находим ее вектор нормали N(4, 2, 4), а уравнение прямой можно записать как l:

2. Известно, что l, M 4; Значит l:

3. Найду точку пересечения прямой l c прямой l:

т. е.получаю дветочки в которых прямая l пересекает две оставшиеся прямые

4. Найду искомую точку пересечения:

Ответ: M(1, 3, 2).

№7.(8Д1) Найдите радиус окружности, если известно, что она касается двух прямых 3х+4у-16=0 и 3х+4у+24=0.

Возьму точку на прямой М(х0, у0), тогда действуя по формуле найду расстояние

d(M,П), которое равно диаметру окружности:

==8, следовательно радиус равен 1/2d=8/2=4.

Ответ:4.

№8.Дана кривая .

8.1 Докажите что эта кривая- гипербола.

8.2(9С4.Б7). Найдите координаты её центра симметрии.

8.3(385.РП). Найдите действительные и минимальные полуоси .

8.4(9С6.БЛ). Запишите общее уравнение фокальной оси.

8.5 Постройте данную гиперболу.

8.1 Чтобы определить тип кривой составлю характеристическое уравнение квадратичной формы:

-матрица квадратичной формы ==-9,

Так как собственные числа имеют разные знаки, то данное уравнение определяет кривую гиперболического типа.

Выделяя полные квадраты получаю :

Положим х1=х-2, а у1=у-4тогда уравнение прямой принимает канонический вид:

=1. Видим, что действительная ось а=3 а мнимая b=1

Координаты точки О1 являющейся центром симметрии гиперболы равны (2, 4).

Уравнением фокальной оси является: y=4.

8.5

8.2Ответ: (2, 4).

8.3Ответ: действительная ось а=3 а мнимая b=1.

8.4Ответ:y=4.

№9.Дана кривая .

9.1 Докажите что данная кривая -порабола.

9.2(9Т7.РП). Найдите координаты ее вершины.

9.3(258). Найдите значение ее параметра р.

9.4(АР9.РП). Запишите уравнение ее оси симметрии.

9.5 Постройте данную пораболу.

9.1 Чтобы определить тип кривой составлю характеристическое уравнение квадратичной формы:

-матрица квадратичной формы ==0,

Так как произведение собственных чисел равно 0, то данное уравнение определяет кривую параболического типа.

Выделяя полные квадраты получаю :

. Видим, что параметр р параболы равен 2, а вершина параболы О(0, 0), осью симметрии является прямая y=0.

9.2Ответ: (0, 0).

9.3Ответ: р=2.

9.4Ответ: y=0.

№10.Дана кривая .

10.1 Докажите, что эта кривая –эллипс.

10.2(9А0.БЛ). Найдите координаты центра его симметрии.

10.3(ПД1.РП).Найдите его большую и малую полуоси.

10.4(С82.РП). Запишите уравнение фокальной оси.

10.5. Постройте данную кривую.

10.1 Чтобы определить тип кривой составлю характеристическое уравнение квадратичной формы:

-матрица квадратичной формы ==9, =4

Так как произведение собственных чисел больше 0, то данное уравнение определяет кривую эллиптического типа.

Найду собственные векторы матрицы В. Для собственного числа =9 получаю систему:

, эта система имеет бесконечное множество решений выбираю значение для собственного вектора (1,2). Найду единичный собственный вектор . По свойству собственных векторов симметричного оператора второй собственный вектор =.