Контрольная работа 2 / 2- 9_Высшая математика_9

Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра высшей математики

Контрольная работа № 2

по дисциплине «Высшая математика»

(Учебное пособие «Высшая математика. Часть 1.

Линейная алгебра, аналитическая геометрия,

введение в математический анализ, дифференциальное исчисление»,

авторы А.П. Ерохина, Л.Н. Байбакова, 2004г.)

Вариант № 9

1.Найдите пределы последовательностей:

а)

б)

2.Найдите пределы функций:

а)

б)

в)

г)

Единицу можно получить делением многочлена на многочлен:

3x² +1 3x²-x+1

3x²-x+1 1

x

д)

е)

3. Выделите главную часть вида с(х-2)^k бесконечно малой

при

получим главную часть

4. Найдите все точки разрыва и исследуйте их характер для функций:

а)

Точки разрыва: х₁=-3, х₂=3, х₃=1.

Исследуем эти точки:

получается точка х₁=-3 – точка устранимого разрыва

точка х₂=3 – точка устранимого разрыва

точка х₃=1 – точка разрыва второго рода

б)

Точки разрыва:

х₁=-2, при х≤0; х₂=1, при х>0; х₃=3, при х>0

точка х₁=-2 – точка устранимого разрыва

точка х₂=1 – точка устранимого разрыва

точка х₃=3 – точка разрыва второго рода

5. Найти производные от данных функций:

а)

Найдем сначала производные:

Получается

б)

в)

6. Дана функция . Найти . Вычислите

Сначала найдем

Теперь найдем

Находим

7. Докажите, что функция удовлетворяет уравнению

.

Проверка:

8. Функция задана неявно уравнением:

Вычислите

9. Дана функция Найдите её наибольшее и наименьшее значение на отрезке [-3, 3].

Находим критические точки:

.

10. Проведите полное исследование функции и постройте ее график.

1. Функция определена всюду, кроме точки х=-1.

2. Функция нечетная, т. к. f(-x)=-f(x), следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.

3. Функция непериодическая.

4. Т. к. у=0 при х=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.

5. Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки х=-1, где она терпит разрыв второго рода, т. к. Прямая х=-1 – вертикальная асимптота.

6. 

получаем х₁=0, х₂=-3. В окрестности точки х₂=-3 имеет:

>0 при х<-3 и <0 при х>-3, значит в точке х₂ функция имеет максимум,

7) . Видим, что при , при этом < 0 при х < 0 и > 0 при х > 0, следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. < 0 на промежутках и и > 0 на , следовательно, на и кривая выпукла, а на кривая вогнута.

8) Наличие вертикальной асимптоты х=-1 установлено выше. Ищем горизонтальные: следовательно, горизонтальных асимптот нет. Найдем наклонные асимптоты: График функции имеет наклонную асимптоту

9) Строим график.

у

1

х

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-2

-3

-4

-5

-6