6 .4. Апроксимація тригонометричними поліномами (гармонійний аналіз)

В випадку, коли за допомогою попереднього аналізу результатів інженерного або наукового експерименту функція, яка досліджується, має періодичний характер (рис.6.4), то для апроксимації таких функцій звичайно використовують ортогональні поліноми Фур’є, які мають вигляд:

.

Багато задач науки і техніки пов’язані з періодичними функціями, які відображають циклічні процеси.

Функція називається періодичною з періодом , якщо вона задовольняє рівності

З практичних міркувань такі функції зручно подавати у вигляді тригонометричного поліному або його часткової суми із заданою обчислювальною похибкою ε.

Поліном виду

називається тригонометричним, причому a_n і b_n – дійсні числа, які не залежать від х.

Нехай цей ряд збігається для будь-якого х з інтервалу , тоді він визначає періодичну функцію з періодом .

Рядом Фур’є називається ряд, коефіцієнти якого обчислюються за наступними формулами:

Для неперервної на замкнутому проміжку функції , яка не має екстремумів, ряд Фур’є збігається на всьому проміжку. Сума його дорівнює для будь-якого значення х всередині проміжку . На обох же кінцях сума ряду дорівнює

тобто середньоарифметичному між і .

Приклад. Розглянемо функцію , яка неперервна в замкнутому проміжку і не має екстремумів. Коефіцієнти а₀, а₁, а₂, … її ряду Фур’є дорівнюють нулю. Дійсно,

Перший доданок після підстановки перетворюється в і в сумі з другим дає нуль:

.

Коефіцієнти знаходяться інтегруванням по частинам

Ряд Фур’є для функції х має вигляд

. (6.3)

При його сума дорівнює

При сума дорівнює

Це очевидно, оскільки всі члени ряду перетворюються в нуль.

Н а рис. 6.5, на якому зображений графік 5-ї частинної суми ряду Фур’є для функції

дає уявлення про ступінь близькості між частинною сумою ряду (6.3) всередині проміжку і самою функцією Графік коливається відносно прямої у = х; для одних значень х виходять недостатні значення, для других – надлишкові.

Лінія проходить через точки і тому поблизу цих точок різко відривається від прямої у = х.

Картина залишається тією ж самою і для наступних частинних сум Тільки розмір проміжку, де спостерігається різкий відрив, необмежено зменшується із зростанням n.

Теоретичні та практичні засоби використання ряду Фур’є замість функції в задачах моделювання та обробки результатів інженерних і наукових експериментів називаються гармонійним аналізом. При практичних розрахунках необхідно обмежитися тільки кількома першими членами ряду Фур’є. В результаті можна отримати лише наближений вираз для функції у вигляді тригонометричного поліному n-го порядку

6.5. Рівномірне наближення функцій

Нехай – задана на відрізку неперервна функція. Кажуть, що поліном наближає функцію на відрізку з точністю ε, якщо Таким чином, величина грає роль похибки наближення.

Розглянемо наступну задачу: серед усіх поліномів фіксованого степеня n знайти поліном , для якого величина похибки рівномірного наближення мінімальна, тобто для будь-якого степеня n. Поставлена задача називається задачею про найкраще рівномірне наближення, в якому шуканий поліном є поліномом найкращого рівномірного наближення.

Доведено, що для будь-якої неперервної на відрізку функції поліном найкращого рівномірного наближення степеня n існує і він є єдиним.

У більшості реальних випадків задача про найкраще рівномірне наближення неперервної функції є дуже складною. Для її розв’язання розроблені спеціальні числові методи, які реалізовані у виді стандартних програм. У багатьох ситуаціях достатньо обмежитися находженням полінома, близького до найкращого або просто знайти поліном, що рівномірно наближає функцію з заданою точністю ε.

10

ЛЕКЦІЯ № 5 (алгоритми та методи обчислень)