6.3. Базис у вигляді класичних ортогональних поліномів

Вибір базисних функцій у вигляді степенів х не є оптимальним з точки зору розв’язання системи нормальних рівнянь з найменшими похибками. Прийнятні результати можна отримати тільки в тому випадку, якщо набір експериментальних даних з задовільною похибкою вдається апроксимувати поліномом невисокого степеня

Спочатку визначимося з поняттям ортогональності функцій. Дві функції і називаються ортогональними в проміжку (a, b), якщо інтеграл добутку , взятий у межах від а до b, дорівнює нулю.

Приклад. Функції

і

ортогональні в проміжку , бо

При апроксимації експериментальних даних кращі результати можна отримати, якщо застосувати ортогональні поліноми Чебишева, Лежандра, Лагера, Якобі та інші як базисні функції. Властивість ортогональних класичних поліномів є в тому, що для кожного типу поліномів існує відрізок , на якому перетворюються в нуль скалярні добутки поліномів різного порядку з ваговою функцією

У випадку великої кількості вузлів х_і на відрізку ці скалярні добутки близькі до дискретних скалярних добутків

оскільки інтегрування можна наближено замінити підсумовуванням. Отже, недіагональні елементи матриці Грама матимуть невелику абсолютну величину, що дозволить зменшити похибку розв’язання системи нормальних рівнянь.

Заданий інтервал , в якому розташовані всі вузли апроксимованої функції, за допомогою лінійного перетворення завжди можна привести до відрізку , де визначені й ортогональні базисні функції .

Спочатку розглянемо поліноми, які застосовуються в якості базисних функцій .

Поліноми Чебишева. При і поліноми Чебишева визначаються явними формулами

а при рекурентною формулою

Явні формули для поліномів Чебишева при мають вигляд

Аналогічно можна записати явні формули і при

Приведемо деякі властивості поліномів Чебишева.

1. При парному багаточлен містить тільки парні степені х і є парною функцією, а при непарному багаточлен містить тільки непарні степені х і є непарною функцією.

2. При старший коефіцієнт багаточлена дорівнює , тобто

3. Для справедлива формула

При і ця формула вірна, оскільки Для того, щоб довести справедливість формули для всіх , достатньо показати, що функція задовольняє такому ж, як і багаточлен Чебишева, рекурентному співвідношенню

Це співвідношення можна отримати, якщо в тригонометричній тотожності

покласти і

Г рафіки поліномів для мають вигляд, показаний на рис. 6.1.

Поліноми Лежандра. При і поліноми Лежандра визначаються явними формулами

а при рекурентною формулою

.

Я вні формули для поліномів Лежандра при мають вигляд

Графіки поліномів для мають вигляд, показаний на рис. 6.2.

П оліноми Лагера. При і поліноми Лежандра визначаються явними формулами

а при рекурентною формулою

.

Явні формули для поліномів Лежандра при мають вигляд

Графіки поліномів для мають вигляд, показаний на рис. 6.3.