2.9. Обратные функции и композиция функций

Любая функция ― бинарное отношение. Поэтому можно построить

обратное отношение . Если мы снова получим функцию, то исходную функцию

будем называть обратимой и писать для обозначения обратной функции.

Функция состоит из пар вида , где . Если обратима, то обратная функция состоит из пар вида , где . Значит, обратимая функция должна удовлетворять условию: если , то . Другими словами, обратная функция переворачивает действие исходной функции.

С геометрической точки зрения, обратное отношение получается простым обращением стрелок в орграфе, его представляющем.

Примем без доказательства следующую важную теорему.

Теорема. Функция обратима тогда и только года, когда она биективна.

Рассмотрим теперь композиции функций.

Если и ― функции, то композиция (произведение или суперпозиция) отношений между множествами и состоит из пар вида , где для некоторого выполняется и . Элемент однозначно определяется по , а элемент однозначно определяется по , так как и ― функции. Следовательно, элемент единственным образом определяется элементом , и, стало быть, композиция функций снова является функцией (сложной функцией). Итак, композиция функций является функцией, действующей по правилу .

Сформулируем основные свойства композиции функций в виде предложения.

Предложение. Пусть и . Тогда и

1. Если , то .

2. Если и ― сюръективные функции, то ― сюръекция.

3. Если и ― инъективные функции, то ― инъекция.

4. Если и ― биективные функции, то ― биекция.

5. Если (биекция), то и .

6. Если и ― обратимые функции, то .

Следует отметить, что композиция функций не коммутативна ,

однако подчиняется ассоциативному закону .

Пример. Рассмотрим две функции и . Найти композиции .

Решение. Все четыре новые функции определены на множестве действительных чисел со значениями из этого множества. Тогда

Убедиться самостоятельно, что суперпозиция двух линейных функций есть функция линейная.

Следует отметить, что в некоторых особенно мощных языках, известных как языки функционального программирования, основные операторы определены в терминах функций. Главная особенность таких языков – возможность построения новых, более сложных операторов из основных. Чтобы уметь это делать, необходимо в совершенстве владеть композицией функций.

2.10. Классификация множеств. Мощность множества

Основной характеристикой множеств является количество элементов, содержащихся в этом множестве.

Как известно, число элементов множества называется его мощностью и обозначается либо . Множества и называются эквивалентными или равномощными , если между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие (биекцию). Тогда пишут .

Следует отметить, что понятие «равномощные множества» не означает, что эти множества равны.

Эталоном для сравнения множеств служит натуральный ряд. Поэтому все числовые последовательности, содержащие различные элементы, эквиваленты натуральному ряду чисел, что видно по индексам их членов.

Если ― инъекция множества в , то будет справедливо неравенство , а если ― сюръекция множества на , то .

Множество, содержащее конечное число элементов называется конечным.

Множество, содержащее бесконечное число элементов называется бесконечным.

Бесконечное множество, эквивалентное множеству натуральных чисел называется счетным. В противном случае множество будет несчетным. Например, счетными являются множества целых и рациональных чисел. Георг Кантор в 1878 году доказал, что множество точек отрезка несчетно.

По определению Б. Больцано и Р. Дедекинда множество называется бесконечным, если оно равномощно одному из своих собственных подмножеств.

Для конечных множеств справедливо утверждение, которое называется основной теоремой о конечных множествах.

Теорема. Любое конечное множество не эквивалентно никакому его собственному подмножеству, кроме самого себя.

Следствие. Всякое непустое конечное множество эквивалентно одному и только одному отрезку натурального ряда чисел .

Для сравнения бесконечных множеств используют множество действительных чисел или множество точек отрезка .

Всякое бесконечное множество, эквивалентное множеству действительных чисел называется множеством мощности континуум .

Для сравнения множеств применяются некоторые теоремы о мощности множеств:

1. Если .

2. Если .

3. Если и ― несчетно, то тоже несчетно.