2.8. Функции

Отношения эффективно применяются для описания связей между парами элементов, выбранных из двух множеств и . Функции (или отображения) ― это частный случай бинарных отношений, на которые наложены дополнительные ограничения.

Функцией или отображением из множества во множество называется бинарное отношение , при котором каждый элемент множества связан с единственным элементом множества . Другими словами, для каждого существует ровно пара или из того, что и следует .

Функция из в обозначается и .

Если ― функция и , то говорят, что . Элемент называется образом элемента , а элемент называется прообразом элемента .

Если , то пишем ( ― значение функции при значении аргумента ) или (функция ставит в соответствие элементу элемент ).

В графических терминах функция описывается таким графом, у которого из каждой вершины, изображающей элементы множества , выходит ровно одна стрелка.

Пример. Определите, какие из следующих отношений между множествами и являются функциями из множества в .

(а) ;

(б) ;

(в) .

Решение.

(а) отношение ― не функция, поскольку элементу соответствует два разных элемента множества : 1 и 2.

(б) отношение является функцией.

(в) последнее отношение не является функцией, так как элементу не соответствует ни одного элемента.

Тождественное отношение является функцией , для которой для всех .

Множество называют областью определения функции и обозначают . А множество ― областью возможных (потенциальных) значений функции.

Если , то множество называют образом множества . Это означает, что множество состоит из образов элементов множества при отображении . Ясно, что .

Образ множества при отображении называется множеством значений данного отображения и обозначается через .

Рассмотрим некоторые важные свойства функций.

Пусть ― функция. Функция будет называться инъективной (инъекцией) или 1-1 функцией, если из того, что следует, что для всех . Это определение логически эквивалентно тому, что

,

т.е. у инъективной функции нет повторяющихся значений. Иными словами, разные входные данные дают различные выходные данные. Если ― инъекция, то пишут

.

Будем называть функцию сюръективной или сюръекцией, или «функцией

на», если множество ее значений совпадает с областью значений. Это означает, что

для каждого найдется такой , что . Будем писать .

Следовательно, каждый элемент области значений является образом некоторого элемента из области определения.

Существует также классификация отображений по мощности.

Отображение на множество «сюръекция» ― соответствие, при котором каждому элементу множества указан единственный элемент множества , а каждому элементу множества можно указать хотя бы один элемент (т.е. один и больше) множества .

Отображение во множество «инъекция» ― соответствие, при котором каждому элементу множества указан единственный элемент множества , а каждому элементу множества соответствует не более одного (т.е. один или ни одного) прообраза из множества .

Функция называется биективной функцией (взаимно-однозначной функцией) или просто биекцией, если она как инъективна, так и сюръективна.

Если ― биекция между и , то пишут . Простейшим примером биекции есть функция .

Примеры отображений (функций) представлены на рис. 11

Рис. 11

Пример. На рис. 12 графически показаны функции . Функция сюръективна, но не инъективна, инъективна, но не сюрьективна, является биективной, не инъективна и не сюръективна.

Рис. 12

Пример. Биекцией между множеством натуральных чисел и множеством целых чисел является функция , для которой