95. Можно ли в рамках действительных чисел рассматривать степени действительного числа с действительным показателем?

Да, можно. В теории действительного числа было дано строгое и корректное определение степени любого положительного числа для любого действительного показателя.

96. Сохранились ли при этом формально-алгебраические свойства степеней?

Да, сохранились.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.

97. Что явилось главным мотивом создания комплексных чисел?

С формально-алгебраической точки зрения основным мотивом создания комплексных чисел было желание расширить систему действительных чисел таким образом, чтобы была возможна операция извлечения натурального корня из отрицательного действительного числа.

98. Что из себя представляют объекты, которые были названы комплексными числами?

Объекты вида , где а и в – действительные числа, а i – просто символ, по определению называются комплексными числами.

99. Что такое действительная и мнимая части комплексного числа?

Если комплексной число, то число а – называется действительной частью комплексного числа z, а число в – называется мнимой частью числа z.

100. Можно ли установить взаимно-однозначное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками геометрической плоскости?

Да, можно. Для того чтобы установить такое соответствие достаточно выбрать на плоскости две взаимно-перпендикулярные прямые и отрезок единичной длины. Тогда любому комплексному числу можно поставить в соответствие точку с координатами равными его действительной и мнимой части. И наоборот, каждой точке плоскости можно таким образом поставить в соответствие некоторое комплексное число.

101. Что такое геометрическая форма представление комплексного числа?

Выбрав на плоскости прямоугольную декартову систему координат позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости. Таким образом, каждому комплексному числу соответствует некоторый отрезок с началом в начале координат и концом в соответствующей точке. Если обозначить длину этого отрезка через r, а угол, который этот отрезок образует с осью х через , то для комплексного числа будет выполняться и , и значит комплексное число можно записать в таком виде:

. Правая часть этого равенства называется тригонометрической формой комплексного числа.

102. Что такое модуль и аргумент комплексного числа?

Если комплексное число, а его тригонометрическая форма. То число r называется модулем исходного комплексного числа, а угол называется его аргументом.