Если рациональные числа рассматривать в их естественном порядке, то в каком направлении их можно продолжать бесконечно?
В этом случае рациональные числа можно бесконечно продолжать в сторону увеличения, в сторону уменьшения, а также в любом месте внутрь самих себя ( в том смысле, что где бы ни взять два не равных рациональных числа q1 < q2, то обязательно найдется рациональное число r, для которого q1 < r < q2. Или можно сказать по-другому – какие бы ни взять два не равных рациональных числа, то обязательно найдется рациональное число не равное ни одному из них, которое находится между ними.
Какой важный формальный недостаток системы целых чисел был устранен построением системы рациональных чисел?
В отличие от системы целых чисел в системе рациональных чисел операция деления стала выполнима всегда. Результат этой операции при этом так же является рациональным числом.
Если рациональные числа рассматривать в их естественном порядке, то в каком направлении их можно продолжать бесконечно?
В этом случае рациональные числа можно бесконечно продолжать в сторону увеличения, в сторону уменьшения, а также в любом месте внутрь самих себя ( в том смысле, что где бы ни взять два не равных рациональных числа q1 < q2, то обязательно найдется рациональное число r, для которого q1 < r < q2. Или можно сказать по-другому – какие бы ни взять два не равных рациональных числа, то обязательно найдется рациональное число не равное ни одному из них, которое находится между ними.
ПРОЦЕНТЫ
Что такое процент некоторой величины? Как найти заданное число процентов от известной величины?
Процентом любой величины называется одна сотая часть этой величины. Для того чтобы найти заданное число процентов некоторой величины надо эту величину разделить на 100 и результат умножить на заданное число процентов.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
Что явилось главным мотивом для создания действительных чисел?
Обнаружение того, что существуют геометрические отрезки, длину которых невозможно измерить, используя одну и ту же меру означало, что использование рациональных чисел не позволяет дать числовую рациональную характеристику всем отрезкам на плоскости или в пространстве. С целью устранения этого недостатка рациональных чисел естественным образом возникла идея дополнить рациональные числа новыми числовыми объектами, таким образом, чтобы все мыслимые геометрические отрезки на плоскости или пространстве получили однозначную числовую характеристику. Эта задача была решена. В результате была построена числовая система, на которую были естественным образом распространены все основные свойства операций и отношений работающих на рациональных числах. Эта числовая система была названа системой действительных чисел. Главным свойством этой числовой системы является то, что существует взаимно-однозначное соответствие между всеми точками геометрической прямой в пространстве или на плоскости и всеми действительными числами.
Как называются числа, которые присоединили к рациональным при построении системы действительных чисел?
Эти числа назвали иррациональными.
Как рациональные и иррациональные числа представляются при помощи десятичной системы изображения чисел?
Рациональные числа представляются либо конечными десятичными дробями, либо бесконечными периодическими десятичными дробями. Иррациональные числа представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями.
Каким числом будет сумма или произведение рационального и иррационального числа?
Только иррациональным.
Может ли сумма или произведение двух иррациональных чисел быть рациональным числом?
Да, может.
Рассматривая эволюцию числовых систем от N до Z, и затем до Q видно, что с формальной точки зрения, каждая последующая система устраняла неполноту какой-нибудь из обратных операций: при переходе от N к Z- устранялась неполнота операции вычитания, при переходе от Z к Q – устранялась неполнота операции деления. Можно ли сказать, что переход от Q к R устранил неполноту некоторой обратной операции?
Да, таки и было. Была устранена неполнота операции извлечения корней любых натуральных степеней из положительных рациональных чисел.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА СТЕПЕНЙ С РАЦИОНАЛЬНЫМ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Как определяется степень положительного действительного числа с произвольным рациональным показателем?
Свойства степеней и корней с натуральным показателем позволяют распространить определение степени положительного действительного числа для произвольного рационального показателя следующим образом:
-
-
При таком определении степени, можно формально доказать, что будут выполняться следующие соотношения:
