66. Чему равно произведение целого числа противоположного n и числа противоположного числу m ?

(-n) * (-m) = ? Из чего это следует? Можно ли доказать.

Такое произведение будет равно произведению самих исходных чисел: (-n) * (-m) =n*m. Это следует из свойств операций, продолженных с множества

натуральных чисел на множество отрицательных натуральных чисел. В частности это следствие дистрибутивности умножения относительно сложения.

Да, это можно формально доказать.

67. Можно ли естественный порядок натуральных чисел распространить на все целые числа?

Да, можно. Надо использовать то же условие: каждое следующее целое число больше на 1 предыдущего.

68. Какое важное изменение в свойствах неравенств произошло при переходе от натуральных чисел к целым числам?

Главные свойства отношения неравенства на натуральных числах показаны в вопросе 25. При переходе к целым числам свойства не касающиеся операций и касающиеся операций сложения и вычитания остаются без изменения, однако свойства 25.5 и 25.6 говорящие о сохранении неравенства при умножении и делении обеих частей на одно и то же число приобретают дополнительную особенность. И формулируются для целых чисел следующим образом:

5. Если n < m , а k – положительное число, то n * k < m * k если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то

неравенство сохраниться. Исходные числа в неравенстве могут быть любыми (пол,отр).

Сохранение неравенства при умножении на положительное число.

Например: или 32 < 56 , или -56 < -32 , или ( -56) < 32 )

Здесь показаны все возможные случаи умножения неравенства на положительное число 8.

Если n < m , а k – отрицательное число, то n * k > m * k если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то

знак неравенства сменится на противоположный.

Исходные числа в неравенстве, тем не менее, могут быть любыми.

Смена знака неравенства на противоположный при умножении на отрицательное число.

Например: или (-32) > (-56) - произошла смена знака неравенства.

или 56 > 32 - произошла смена знака неравенства.

или 56 > (-32 ) - произошла смена знака неравенства.

Здесь показаны все возможные случаи умножения неравенства на отрицательное число (-8).

Точно так же с делением:

6. Если n < m , а k – положительное число, то n : k < m : k если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то

неравенство сохраниться. Исходные числа в неравенстве любыми.

Сохранение неравенства при делении на положительное число.(Если деление возможно)

Например: или 4 < 12 , или -12 < -6 , или ( -12) < 4

Здесь показаны все возможные случаи деления неравенства на положительное число 6.

Если n < m , а k – отрицательное число, то n : k > m : k если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то

знак неравенства сменится на противоположный.

Исходные числа в неравенстве, тем не менее, могут быть любыми.

Смена знака неравенства на противоположный при делении на отрицательное число.

(Если деление возможно)

Например: или (- 4) >(- 12) - произошла смена знака неравенства.

или 12 > 4 - произошла смена знака неравенства.

или 24 > (-4) - произошла смена знака неравенства.

Здесь показаны все возможные случаи деления неравенства на отрицательное (- 6).

(Неравенства для степеней ( свойства 7 и 8) перестают работать на целых числах в том виде как они работают на натуральных числах. Полный перечень свойств неравенств на целых и рациональных числах целесообразно привести после строго определения степени с отрицательным и дробным показателем.)

69. Если целые числа расположены в естественном порядке, то в каком направлении их можно перечислять бесконечно?

В направлении возрастания и в направлении убывания.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

70. Что явилось главным мотивом для создания рациональных чисел?

Главным мотивом для создания рациональных чисел была желание и необходимость создания числовых объектов характеризующих взаимоотношение части и целого.

71. Что такое числовая обыкновенная дробь? Числитель? Знаменатель? Правильные, неправильные дроби – что это такое?

Числовой обыкновенной дробью называется выражение , где m – любое целое число, а n –натуральное число. Число, стоящее над чертой называется числитель. Число, стоящее под чертой называется знаменатель. Дробь называется правильной если числитель меньше знаменателя и неправильной в противном случае.

72. Есть ли количественный смысл у числовой дроби?

Да, есть. Положительная числовая дробь выражает количество частей (m) некоторого целого, поделенного на n равных частей. При таком понимании числовой дроби видим, что натуральные и целые числа также могут быть выражены при помощи числовой дроби знаменатель, которой равен единице.

73. Из какого материала и как была построена система рациональных чисел? Какие требования были выполнены при построении этой системы?

Система рациональных чисел была построена из числовых обыкновенных дробей. Главным требованием при построении этой системы было продолжение операций и отношений, работающих на целых числах с сохранением их главных свойств, таким образом, чтобы операция деления была выполнима всегда.

74. Являются целые числа рациональными? Являются ли натуральные числа рациональными?

Да, целые числа являются рациональными. Целые числа являются частью рациональных чисел. Натуральные числа являясь частью целых чисел, также являются рациональными числами.

75. Может ли число, представленное дробью быть целым? Натуральным?

Может. Например, число -40/8 является целым числом -5. Точно таким образом число 40/8 является натуральным числом 5.

76. Каково главное или основное свойство дроби? Из чего оно следует?

При определении рационального числа, представленного в виде числовой дроби, исходя из смысла числовой дроби постулируется, что все числовые дроби полученные из данной числовой дроби путем одновременного умножения числителя и знаменателя на одно и то же (любое) натуральное или целое число представляют то же самое рациональное число, что и исходная дробь. Исходя из этого формулируется ГЛАВНОЕ СВОЙСТВО ЧИСЛОВОЙ ДРОБИ: если числитель и знаменатель числовой дроби умножить или разделить (если это возможно) на одно и то же число, то рациональное число, которое представляет получившаяся дробь не изменится. Часто говорят, что сама дробь не изменится, хотя это не совсем правильно. Более того, если две числовые дроби таковы, что ни одна из них не может быть получена при помощи умножения числителя и знаменателя другой на одно и то же число, то эти дроби обязательно представляют разные (неравные) рациональные числа. В этом случае привычно говорят, что дроби неравны.