8. Можно ли сказать, что числа участвующие в операции умножения имеют одинаковый смысл, как это имеет место при операции сложения?

Каков смысл сомножителей при умножении натуральных чисел?

Нет, так сказать нельзя. Смысл сомножителей при операции умножения различен. Операция умножения определяется как многократное

сложение: один сомножитель обозначает некоторое натуральное число, другой сомножитель показывает сколько раз это число выступает слагаемым при

многократном сложении. При сложении оба слагаемых обозначают одно и то же. Например: складываются яблоки и яблоки. При умножении, если первый

сомножитель обозначает яблоки, то второй – не яблоки, а количество раз, которое, данное количество яблок берется в качестве слагаемого при многократном

суммировании или, например, число тарелок, в каждой из которых одинаковое количество яблок.

9. Каковы главные 4 свойства операции умножения натуральных чисел?

1 - переместительность ( коммутативность) n * m = m * n, сомножители можно ставить в любом порядке

2 - сочетательность ( ассоциативность) (n * m) * k = m * (n * k), сомножители можно разбивать на группы любым способом

3 - свойство нуля 0 * n = 0 при умножении нуля на любое число получаем ноль

4 - свойство единицы 1 * n = n при умножении единицы на любое число получаем само это число

10. Как можно убедиться в справедливости 4-х главных свойств умножения натуральных чисел. Можно ли их математически доказать?

Убедиться в справедливости этих свойств можно путем наблюдения за конкретными множествами, описываемыми сомножителями n и m,

при определенном расположении этих множеств в пространстве. Доказать эти свойства опираясь на некоторые, более простые утверждения нельзя.

11. Как определяется операция деления на натуральных числах? Всегда ли она выполнима?

Операция деления на натуральных числах определяется косвенным образом. А именно результатом деления натурального числа n на натуральное число m называется такое натуральное число k, что для него выполняется такое соотношение n=m*k. Простые примеры показывают, что эта операция выполнима не всегда.

12. Что такое n-ая степень некоторого натурального числа k?

n-ой степенью натурального числа k называется число являющееся произведением n натуральных чисел каждое из которых равно числу k. Так как операция умножения переместительна и сочетательна, то такое определение корректно и однозначно определяет одно число. Обозначается n-ая степень числа k как .

Таким образом, в соответствии с определением можем записать, что . Число n называется показателем степени, а число k называется основанием степени.