35)Обработка экспериментальных данных.

Ответ:

36)Выравнивание статистических рядов.

Ответ: Задача выравнивания (сглаживания) заключается в том, чтобы подобрать теоретическую плавную кривую распределения, выражающую лишь существенные черты статистического материала, но не случайности, связанные с недостаточным объемом экспериментальных данных. Эта кривая, с той или иной точки зрения наилучшим образом должна описывать данное статистическое распределение. Задача о наилучшем выравнивании статистических рядов, как и вообще задача о наилучшем аналитическом представлении эмпирических функций, есть задача в значительной мере неопределенная, и решение ее зависит от того, что условиться считать «наилучшим». При этом вопрос о том, в каком именно классе функций следует искать наилучшее приближение, решается уже не из математических соображений, а из сообрсжений, связанных с физикой решаемой задачи, с учетом характера полученной эмпирической кривой и степени точности произведенных наблюдений. Аналогично, при решении задачи выравнивания статистических рядов, прнципиальный вид теоретической кривой выбирается заранее из соображений, связанных с существом задачи, а в некоторых случаях просто с внешним видом статистического распределения. Пусть для случайной величины Х мы построили гистограмму, которая имеет вид, приведенный на рисунке. Естественно предположить, что исследуемая случайная величина Х подчиняется нормальному закону:

Тогда задача выравнивания переходит в задачу о рациональном выборе параметров m и σ. Любая аналитическая функция с помощью которой выравнивается статистическое распределение, должна обладать основными свойствами плотности распределания:

Предположим, что, исходя из тех или иных соображений, нами выбрана функция f(x) , удовлетворяющая, приведенным выше условиям. С помощью этой функции мы хотим выровнять данное статистическое распределение; в выражение функции f(x) входит несколько параметров a, b, …; требуется подобрать эти параметры так, чтобы функция наилучшим образом описывала данный статистический материал. Один из методов, применяемых для решения этой задачи, – это так называемый метод моментов. Согласно методу моментов, параметры a, b, … выбираются с таким расчетом, чтобы несколько важнейших числовых характеристик (моментов) теоретического распределения были равны сответствующим статистическим характеристикам. Например, если теоретическая кривая f(x) зависит только от двух параметров a и b, эти параметры выбираются так, чтобы математическое ожидание m_x и дисперсия D_x теоретического распределения совпадали с соответствующими статистическими характеристиками m_x* и D_x* . Если кривая f(x) зависит от трех параметров, можно подобрать их так, чтобы совпали первые три момента, и т. д. При выравивании статистических рядов нерационально пользоваться моментами выше четвертого, так как точность вычисления моментов резко падает с увеличением их порядка.

37)Критерий согласия (Пирсона, Колмогорова,  ).

Ответ: Критериями согласия называют критерии, предназначенные для проверки простой гипотезы   при сложной альтернативе  . Мы рассмотрим более широкий класс основных гипотез, включающий и сложные гипотезы, а критериями согласия будем называть любые критерии, устроенные по одному и тому же принципу. А именно, пусть задана некоторая функция отклонения эмпирического распределения от теоретического, распределение которой существенно разнится в зависимости от того, верна или нет основная гипотеза. Критерии согласия принимают или отвергают основную гипотезу исходя из величины этой функции отклонения. Итак, имеется выборка   из распределения  . Мы сформулируем ряд понятий для случая простой основной гипотезы, а в дальнейшем будем их корректировать по мере изменения задачи. Проверяется простая основная гипотеза   при сложной альтернативе  .

K1. Пусть возможно задать функцию  , обладающую свойствами: а)если гипотеза   верна, то  , где   — непрерывное распределение; б)если гипотеза   неверна, то   при  .

K2. Пусть такая функция   задана. Для случайной величины   из распределения   определим постоянную   из равенства  .

Построим критерий: 

(22)

Мы построили критерий согласия. Он «работает» по принципу: если для данной выборки функция отклонения велика (по абсолютному значению), то это свидетельствует в пользу альтернативы, и наоборот. Убедимся в том, что этот критерий имеет (асимптотический) размер   и является состоятельным.

Определение 29.

Говорят, что критерий   для проверки простой гипотезы   является критерием асимптотического размера  , если его размер приближается к   с ростом  :

  при   .

Поскольку альтернатива   всегда является сложной, то, как мы уже отмечали в замечании 16, вероятность ошибки второго рода любого критерия   есть функция   от конкретного распределения   из списка возможных альтернатив  . Или, при ином виде основной гипотезы, из числа распределений, отвечающих альтернативе  .

Определение 30.

Критерий   для проверки гипотезы   против сложной альтернативы   называется состоятельным, если для любого распределения  , отвечающего альтернативе  , вероятность ошибки второго рода стремится к нулю с ростом объема выборки:

  при   .

Свойство 10.

Для критерия  , заданного в (22), при  :

1.

;

2.

 для любого распределения  , отвечающего  .

Иначе говоря, построенный критерий имеет асимптотический размер   и состоятелен.

Упражнение.    Доказать свойство 10.

Указание.    По определению, запись   означает, что для любого 

Замечание.    Если вместо « » в K1(а) выполняется «  имеет распределение  », то критерий (22) будет иметь точный размер  .