23)Логические схемы расчета надежности.

Ответ: На практике объекты систем электроснабжения крайне редко используются обособленно. Обычно они физически соединены друг с другом и образуют, так называемые, технологические схемы, имеющие определённое функциональное назначение. Логические схемы расчёта надёжности получаются из технологических на основе логических рассуждений, ведущих к цели расчёта надёжности. Логические рассуждения в расчётах надёжности бывают двух типов - "по безотказности" и "по отказу". Строго говоря, расчёт надёжности возможен при использовании любого одного типа рассуждений. Два их типа необходимы для того, чтобы выбрать простейшую логическую схему и, соответственно, простейшие расчётные соотношения. Практически используются два трафарета логических рассуждений  "по теореме умножения вероятностей (союз И)" и "по теореме сложения вероятностей (союз ИЛИ)", причём, оба трафарета применимы к обоим типам логических рассуждений  "по безотказности" и "по отказу". С учётом изложенного, логические рассуждения при составлении логических схем расчёта надёжности по технологическим схемам систем электроснабжения имеют следующий обобщенный вид: "система не откажет (откажет), если не откажет (откажет) этот её элемент И (ИЛИ) тот, И (ИЛИ) вот этот, И (ИЛИ)..." и т. д. Конкретизация этого обобщённого вида применительно к типовым логическим схемам расчёта надёжности дана в следующем параграфе.

24)Типовые логические схемы расчета надежности.

Ответ: Для обеспечения мнемонического усвоения материала объекты систем электроснабжения в типовых логических системах расчёта надёжности будут обозначены при логических рассуждениях:  "по безотказности"  символами R или R(t);  "по отказу"  символами F или F(t).

1. Обособленный объект

Поскольку система состоит из единственного элемента, то она не откажет (откажет), если не откажет (откажет) этот единственный элемент. Логические рассуждения здесь совпадают, поэтому совпадают и логические схемы расчёта надёжности "по безотказности" R_ и "по отказу" F_.

2. Последовательное соединение объектов

Логические рассуждения здесь двойственны друг другу, поэтому двойственны друг другу и логические схемы расчёта надёжности "по безотказности" R_ и "по отказу" F_. Из логического рассуждения "система R_ не откажет, если не откажет элемент R₁ и элемент R₂" следует, что

R_ = R₁  R₂ и R_(t) = R₁(t)  R₂(t). Записав последнее уравнение в явном виде через падающие экспоненты, получим: Зная _ можно вычислить все остальные показатели надежности для последовательного соединения объектов (см. расчетные формулы в п. 1.4). Из логического рассуждения "система R_ откажет, если откажет элемент R₁, ИЛИ элемент R₂, ИЛИ оба элемента вместе", следует, что:

F_ = F₁  F₂ и F_(t) = F₁(t) + F₂(t)  F₁(t)  F₂(t). Записав последнее уравнение в явном виде через растущие экспоненты, получим:

Упрощение этого выражения приведет к прежним формулам

Следовательно, результаты расчета надежности по обеим логическим схемам будут идентичны, но по теореме умножения вероятностей расчетные соотношения значительно проще, чем по теореме сложения вероятностей. Поэтому при расчете надежности последовательного соединения объектов надо пользоваться логической схемой "по безотказности". 3. Параллельное соединение объектов

Двойственность логических рассуждений и логических схем расчета надежности "по безотказности" R_ и "по отказу" F_ здесь сохраняется. Поэтому здесь тоже из логического рассуждения "система R_ не откажет, если не откажет хотя бы один из элементов R₁ ИЛИ R₂ а, возможно, и оба" следует, что R_ = R₁  R₂ и R_(t) = R₁(t) + R₂(t)  R₁(t)  R₂(t). Записав последнее уравнение в явном виде через падающие экспоненты, получим:

Из логического рассуждения "система R_ откажет, если откажет элемент R₁ и элемент R₂" следует, что: F_ = F₁  F₂ и F_(t) = F₁(t)  F₂(t). Записав последнее уравнение в явном виде через растущие экспоненты, получим: Упрощение этого выражения приведет к прежней формуле

Следовательно, результаты расчета надежности по обеим логическим схемам будут идентичны. Студенту предлагается самостоятельно решить, какой логической схемой расчета надежности пользоваться проще при расчете надежности параллельного соединения. Следующие две типовые логические схемы расчета надежности являются комбинациями предыдущих. Поэтому для них приводятся только расчетные формулы, а восстановить рассуждения предлагается студенту самостоятельно. 4. Параллельно-последовательное соединение объектов (параллельное соединение последовательных соединений)

R_ = R₁  R₂  R₃  R₄;

F_ = F₁  F₂  F₃  F₄;

Упрощение второго выражения сведет его к первому. Следовательно, результаты расчета надежности по обеим логическим схемам будут идентичны. 5. Последовательно-параллельное соединение объектов (последовательное соединение параллельных соединений)

R_ = R₁ R₂ R₃ R₄;

F_ = F₁ F₂ F₃ F₄;

Здесь возможно упрощение обоих выражений и сведение их к некоторому третьему. Проделать это предлагается студенту самостоятельно. Предлагается самостоятельно решить, какой логической схеме расчета надежности пользоваться проще при расчете надежности двух последних соединений объектов. 6. Мостиковое соединение объектов

Поскольку в мостиковом соединении есть элемент R₅, относительно которого нельзя однозначно утверждать, последователен он или параллелен остальным элементам схемы, то единой аналитической замены мостика с помощью знаков конъюнкции и дизъюнкции не существует. Логические рассуждения "по безотказности" (все возможные пути через мостик) и "по отказу" (все возможные сечения мостика) приведут к параллельно-последовательным логическим схемам расчета надежности рис. 3.1 и 3.2, соответственно.

Рис. 3.1

Рис. 3.2

Рис. 3.3

а)	б)

Рис. 3.4

В сравнительных расчетах надежности использование этих схем допустимо, но в расчетах абсолютных они могут привести к ошибкам, так как каждый элемент исходной мостиковой схемы в них учитывается дважды. Повышение точности расчетов достигается преобразованием любого треугольника мостиковой схемы в звезду (см. рис. 3.3). Преобразование это производится, исходя из условий сохранения надежности между вершинами треугольника, при этом получается (см. рис.3.5):

R₁₃  R₁₅ = R₁  R₃  R₅ (Рис. 3.5 а);

R₁₃  R₃₅ = R₃  R₁  R₅ (Рис. 3.5 б);

R₁₅  R₃₅ = R₅  R₁  R₃ (Рис. 3.5 в).

а)

б)

в)

Рис. 3.5

Переходя к алгебраической форме этих булевых функций (см. п. 2.7), получим:

R₁₃  R₁₅ = 1- (1- R₁)(1- R₃ R₅) (Рис. 3.5 а);

R₁₃  R₃₅ = 1- (1- R₃)(1- R₁ R₅) (Рис. 3.5 б);

R₁₅  R₃₅ = 1- (1- R₅)(1- R₁ R₁) (Рис. 3.5 в).

Студенту следует обратить внимание на то, что при получении последних уравнений существенным образом использована двойственность теорем умножения и сложения вероятностей. Решая систему из трех уравнений с тремя неизвестными, получим:

; (3.1)

; (3.2)

. (3.3)

При известных величинах R₁₃, R₁₅ и R₃₅ без затруднения получаются логические схемы расчета надежности "по безотказности" рис. 3.4а и "по отказу" рис. 3.4б. Они двойственны друг другу в обычном смысле. В изложенной методике расчета надежности мостикового соединения объектов фигурируют чисто расчетные (не физические) элементы R₁₃, R₁₅ и R₃₅. Поэтому здесь не удается рассчитать суммарные для всего соединения величины _ и t_, а приходится пользоваться непосредственно величинами R₁₃, R₁₅, R₃₅ и F₁₃, F₁₅, F₃₅, между которыми сохраняются обычные соотношения R₁₃ + F₁₃ = 1, R₁₅ + F₁₅ = 1, R₃₅ + F₃₅ = 1. Студенту рекомендуется самостоятельно провести все выкладки по преобразованию треугольника в звезду, не используя двойственности теорем умножения и сложения вероятностей, а рассуждая непосредственно в терминах дизъюнкции, теоремы сложения вероятностей для независимых событий и параллельного соединения элементов.