Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра промышленной электроники (ПрЭ)

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Высшая математика-1»

1 Найдите матрицу D=A+2CA, если

A=, C=

(В ответ ввести третью строку матрицы D).

Решение:

D=A+2CA, D=A(1+2C)

2С = ; 1+2С =

D=A(1+2C)= =

2. Вычислите определитель.

D=

3. Решите матричное уравнение

4. При каком значении параметра р, если оно существует, строки матрицы

А= линейно зависимы?

А=

Ранг матрицы rang A = 3 при р = 6, следовательно строки этой матрицы линейно зависимы при p = 6 (т.к. m (число строк данной матрицы) = 4, а при данном значении p ранг матрицы меньше m).

5. Относительно канонического базиса в R₃ даны четыре вектора: f₁ (5,3,5), f₂ (2,0,3), f₃ (0,1,-1), х (-14, -7, -13). Докажите, что векторы f₁, f₂, f₃ можно принять за новый базис в R₃. Найдите координаты вектора х в базисе f_i.

Решение:

_{rang C = 3, следовательно, векторы f1, f2, f3 – линейно независимы, следовательно их можно принять за новый базис в R3.}

_{Находим обратную матрицу C}^-1_.

Координаты вектора х:

6. Докажите что система

имеет единственное решение. Неизвестное х₄ найдите по формулам Крамера. Решите систему методом Гаусса.

Решение:

а) Решим систему методом Гаусса:

В результате у нас получилось:

x₁=1, x₂=2, x₃=1, x₄=-2

б) Решим систему методом Крамера:

В результате выше сделанных преобразований имеем:

7. Дана система линейных уравнений

Докажите, что система совместна. Найдите ее общее решение. Найдите частное решение, если х₄=х₅=1.

Решение:

Составим систему уравнений:

- общее решение системы

Найдем частное решение системы:

- частное решение системы

8. Дана система линейных однородных уравнений

Докажите, что система имеет нетривиальное решение. Найдите общее решение системы. Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений.

Решение:

rang A=3

Следовательно, последнее уравнение можно вычеркнуть:

Выразим x₁ и x₂ через x₃ и x₄. Отсюда следует:

- общее решение системы.

Найдем фундаментальную систему решений, предположив, что x₃=1, x₄=-7, а затем x₃=-7, x₄=1:

9. Вычислите , если , , , ,

Решение:

10. Вычислите высоту пирамиды, опущенную на ABD, если пирамида построена на векторах AB + AC, AB, AD, и A (-1, 2, 1);

B (1, -2, -3); С (1, -1, -4); D (-1, -4, -2).

Решение:

Высота пирамиды вычисляется по формуле , где V – объем пирамиды CABD, а S – площадь ее основания ABD.

Объем пирамиды находится по формуле:

CA = (-2, 3,5), AD = (0, -6, -3), DB = (2, 2, -1)

(CA, AD, DB) =

V=3

Находим площадь основания:

S=9

Следовательно:

11. Линейный оператор А действует в по закону , где - произвольный вектор. Найдите матрицу А этого оператора в каноническом базисе. Докажите, что вектор является собственным для матрицы А. найдите собственное число , соответствующее вектору х. найдите другие собственные числа, отличные от . Найдите все собственные векторы матрицы А и сделайте проверку.

Решение:

следовательно, x(0, 2, -1) собственный вектор и отвечает собственному векторному числу

Составим характеристическое уравнение:

Вычислим определитель:

Отсюда следует, что:

x₁=-5x₃, x₂=-2x₃

Предположим x₃=-1, найдем собственный вектор: (5, 2, -1).

Проверка:

Следовательно, х=(5, 2, -1) собственный и отвечает собственному числу .

Собственными векторами, отвечающими числу будут и векторы (5, 2, -1)t, где .

Если х – собственный вектор, то tx при тоже собственный.