Контрольная работа 1 / 1- 6_Высшая математика_7

Томский Межвузовский Центр Дистанционного Образования (ТМЦ ДО)

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Контрольная работа №1

По дисциплине "Высшая математика -1"

Вариант-6

1. Найти матрицу: D = (СА-ВА), если С=, В=, А=

Используя св-во операций над матрицами, можно записать

D=(С-В)*А

С-В=-=

D=*==

2. Вычислите определитель D=:

D===1*(-1)¹⁺¹ =120+90-112+144-105-80=57

2. Решите матричное ур-ние: *Х=42

Обозначим А=, В=42, Х=

Тогда данное ур-ние можно записать в виде АХ=В.

Вычислим detA==15+4+2+12-1+10=42

Матрица А-невырожденная, а потому имеет обратную А^-1 . Поэтому Х= А^-1 *В

Находим матрицу А^-1

А¹₁==14 А²₁=-=6 А³₁==4

А¹₂=-=14 А²₂==-9 А³₂=-=1

А¹₃==14 А²₃=-=3 А³₃==-5

Составим матрицу из алгебраических дополнений

А^-1=

Найдем Х= А^-1*В

Х=*42=*==

2. При каком значении параметра q, если оно существует, обведенный минор матрицы А является базисным? Матрица А имеет вид А=:

Т.к обведенный минор второго порядка = 0, то ранг матрицы не менее 2. Он будет равен 2, если 3 и 4 строки будут лин. комбин. первых двух строк.

А=

Заметим, что 2 и 3 стр. пропорциональны. Ранг равен 2 в том случае, если 2 и 3 стр. будут пропорциональны, т.е

-3/9=-4/q+3=-3/9=-1/3

q+3=12

q=9

При q=9 обведенный минор является базисным.

5) Относительно канонического базиса в R₃ даны четыре вектора:

f₁(4,2,-1), f₂(5,3,-2), f₃(3,2,-1), х(12,7,-3). Докажите, что векторы f₁, f₂, f₃ можно принять за новый базис в R₃. Найдите координаты вектора х в базисе f_i.

Составим матрицу С, записав в её столбцах координаты векторов f₁, f₂, f₃

С= Вычислим определитель этой матрицы.

detC==-12-12-10+9+16+10=1

Т.к detC=0, то векторы f₁, f₂, f₃-линейно независимы, а потому могут быть приняты в качестве базиса в R₃.

Матрица С невырожденная, а потому имеет обратную С^-1.

А¹₁==1 А²₁==0 А³₁==-1

А¹₂=-=-1 А²₂==-1 А³₂=-=3

А¹₃==1 А²₃=-=-2 А³₃==2

т.к detC=1, то С^-1=

Найдем новые координаты η₁, η₂, η₃, вектора х

=*==

6. Докажите, что система

Вычислим определитель системы

D===1*(-1)¹⁺¹=120+90-112+144-105-80=57

D=0 система имеет единственное решение

Найдем определитель D₂ (заменим 2 столбец столбцом свободных членов)

D₂===1*(-1)¹⁺¹=72-195+224-312-63+160=-114

По формуле Крамера находим Х₂

Х₂=D₂/D=-144/57=-2

Решим данную систему методом Гаусса. Записываем расширенную матрицу системы и преобразуем её к треугольному виду, действуя только со строками

А=

То данная система эквивалентна системе

Отв:(2,-2,1,-1)

6. Дана система линейных ур-ний: Х₂=-1

Применим к этой системе метод Гаусса.

А=

R(A)=r(A)=3 система совместна

В качестве базисного выберем минор

=-2=0, т.е неизв. х_1, х_3, х₄ приняты в качестве зависимых, а х_2- в качестве свободного.

Данная система эквивалентна системе

х₂=-1

Отв: частное решение (5,-1,-1,-1)

6. Дана система линейных однородных ур-ний:

Исследуем систему методом Гаусса

А=

Т.к 2 и 3 стр. пропорциональны, то одну из них можем вычеркнуть не меняя ранг матрицы r(A)=2.

Обведенный минор можно принять в качестве базисного минора, неизвестные х_2, х₃-зависимые

х_1, х_4, х₅-свободные

Данная система эквивалентна системе

Фундамент сист. Решений содержит 5-2=3 решения (разность м/д числом неизвестных и рангом)

Получаем три частных линейно независимых решения, придавая, поочередно свободным неизв. значения (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2)

(2,-2,0,0,0)

(0,1,-3,2,0)

(0,2,0,0,2)

Эти решения образуют фундамент сист. решений. Любое другое решение явл. их линейной комбинацией.

6. Найдите |а|:

|a|²=(a,a)=(6p-r, 6p-r)=36|p|²-12(r,p)+|r|²=36*(2)²-12*|r|*|p|*cos45+9=288-12*3*2**/2+9=225

|a|==15

Отв: 15

6. Найдите угол (в градусах), образованный вектором с осью OY:

Найдем векторы AB и BD

AB=(6,-3,-3) BD=(-2,-2,1)

Формула АВ=(х₂- х₁; у₂-у₁; z₂-z₁)

==-3i+6j-12k-6k-6i-6j=-9i+0j-18k

cosφ===0

cosφ=0

φ=90˚

Отв: φ=90˚

11)

1. Т.к А=(1,0,0)=(3,-1,2)

А=(0,1,0)=(0,0,-4)

А=(0,0,1)=(0,1,4) , то записав в столбцы координаты собственных векторов, найдем матрицу А.

А=

2. Проверим, что вектор х(1,3,10) является собственным матрицы А

А*х=*===3

Т.к А*х=3*х, то отсюда следует, что вектор х(1,3,10) собственный и отвечает собств. числу λ=3

3. Чтобы найти все другие собственные числа, сост. характ. ур-ние:

|A-λE|=(3-λ)*=(3-λ)*(-4λ+λ²4)=0

λ₁=3 λ²-4λ+4=0

D=16-16=0

λ ₂==2; Собственные числа λ=2

4.

Пусть х₂=1;

13