Контрольная работа 1 / 1- 3_Высшая математика_6

Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра теоретических основ

радиотехники

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Высшая математика»

Вариант 1.3

200г

1(5Т3.РП). Найдите D = (2AB + 3AC), если

(В ответ ввести вторую строку матрицы D)

Решение. Использую свойство операций над матрицами, можем записать

D = (2B + 3C)*A.Так как ,, то

Ответ: [13 -4 -15 9]

2(0Б8). Вычислите определитель

Решение.

Пользуясь теоремой , вычисление определителя можно свести к вычислению четырех определителей третьего порядка. Число этих определителей можно снизить до одного, получив, пользуясь свойствами определителя, в каких либо строке или столбце три нулевых элемента. Получим нули в четвертой строке. Для этого его первый столбец, умноженный на 2, вычтем из второго столбца. Затем этот же столбец, умноженный на (-3), сложем с третьим столбцом, а затем этот же первый столбец, умноженный на (-7), сложем с четвертым столбцом. В результате получим что

Разлагая этот определитель по элементам четвертой строки, получаем:

Ответ: D = 81

3(П79.РП). Решите матричное уравнение

Решение.

Обозначим

Тогда данное уравнение можно записать в виде AX = B. Вычисляем:

(к третьему столбцу прибавили первый, умноженный на 2. Матрица A невырожденная, а потому имеет обратную . Поэтому . Находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы A, т.е. элементы присоединенной матрицы.

Таким образом,

*6*=*=

Проверка.

Матрица X найдена, верно.

4(9Д3). Найдите то значение параметра p, если оно существует, при котором строки матрицы линейно зависимы.0

Решение. Определитель det A равен нулю тогда и только тогда, когда ее строки матрицы А линейно зависимы.

det A = 0

=0, 6*p = 24, p = 4

5. Относительно канонического базиса в даны четыре вектора: . Докажите, что векторы можно принять за новый базис в . (31К.РП). Найдите координаты вектора в базисе .

Решение.

Составим матрицу , записав в ее столбцах координаты векторов Вычислим определитель этой матрицы. Находим

Так как , то векторы линейно независимы, а потому могут быть приняты в качестве базиса в .

Матрица невырожденная, а потому имеет обратную . Найдем ее

Так как , то Новые координаты вектора находятся по формуле

6.Докажите что система

имеет единственное решение. (2Т8). Неизвестное найдите по формулам Крамера. (5С5.РП). Решите систему методом Гаусса.

Решение.

Вычислим определитель системы:

(ко второму столбцу прибавили первый, умноженный на (-2), затем к третьему прибавили первый, умноженный на (-3), а затем к четвертому прибавили первый, умноженный на (-7)).

, поэтому система имеет единственное решение.

Находим определитель (в определителе D четвертый столбец заменен столбцом свободных членов).

По формуле Крамера . Решим данную систему методом Гаусса.

Записываем расширенную матрицу системы и преобразуем ее действуя только со строками.

Таким образом, данная система эквивалентна системе

из которой легко находим = 1,

Получено решение: (2, 1, 0, 1).

7. Дана система линейных уравнений

Докажите что система совместна. Найдите ее общее решение. (919.Р7). Найдите частное решение, если .

Решение.

Применим к этой системе метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее, действуя только со строками, к виду, из которого легко увидеть базисный минор.

Отсюда следует, что ранг основной и расширенной матриц равен 2, следовательно, система совместна. В качестве базисного выберем минор , т.е. неизвестные х₂ и х₃ приняты в качестве зависимых, а х₁, х₄ – в качестве свободных. Данная система эквивалентна системе

Пусть , где а, b – произвольные постоянные. Находим

x₂ = x₁ + x₃ – x₄

x₂ = a + 1 – b

Отсюда следует

- общее решение системы

По условию х₂ = 1. Следовательно

a + 1 – b = 1

a – b = 0

a = b

Пусть a = b = 2, отсюда х₁ = 2, х₄ = 2.

Мы получили частное решение (2,1,1,2).

8.Дана система линейных однородных уравнений

Докажите что система имеет нетривиальное решение. Найдите общее решение системы. Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений.

Решение.

Исследовать систему будем методом Гаусса. Записываем ее матрицу и , действуя только со строками, упрощаем ее, не меняя ранга.

Ранг матрицы равен четырем, следовательно он меньше числа неизвестных. По теореме 2 из подраздела 4.5 (Высшая математика. МагаинниковЛ. И., Магазинникова А. Л) система имеет нетривиальное решение. Впрочем, это можно было бы заметить сразу: поскольку уравнений четыре, то ранг ее матрицы не может быть больше четырех, а поэтому он меньше пяти – числа неизвестных.

В качестве базисного можно принять минор , т.е. неизвестные , , и приняты в качестве зависимых, а - свободной. Данная система эквивалентна системе

или

Выражая зависимые переменные через свободные, находим общее решение:

Фундаментальная система содержит 5-4=1 решение (разность между числом неизвестных и рангом). Получаем одно частное линейно независимое решение при х₅=1:

(-4/3, 5/2, 0, -5/6, 1).

Это решение образует фундаментальную систему решений. Любое другое решение является их линейной комбинацией.

9(350).Найдите , если

Решение.

10(858). Даны точки .Найдите объем пирамиды, построенной на векторах AB, 2BC, CD.

Решение.

Находим

Находим объем пирамиды

11.Линейный оператор А действует в по закону где - произвольный вектор. (Д13.РП). Найдите матрицу А этого оператора в каноническом базисе. Докажите что вектор x(1,0,0) является собственным для матрицы А. (8Р8). Найдите собственное число , соответствующее вектору x. (243). Найдите другие собственные числа, отличные от . Найдите все собственные векторы матрицы А и сделайте проверку.

Решение.

(Д13.РП). Так как А(1,0,0) = (4,0,0), А(0,1,0) = (5,-2,3), А(0,0,1) = (-7,4,2), то, записав в столбцы координаты полученных векторов, найдем матрицу А:

Проверим, что вектор x = (1,0,0) является собственным матрицы А . Находим

Так как Ax = 4x, то отсюда следует, что вектор х(1,0,0) собственный и (8Р8) отвечает собственному числу = 4.

(243). Чтобы найти все другие собственные числа, составляем характеристическое уравнение

Нам уже известно, что число = 4 – корень этого уравнения. Разделив многочлен на получим

Итак, собственными числами являются -4, 4.

Находим собственные векторы, отвечающие этим собственным числам.

. Собственные векторы, отвечающие этому собственному числу, образуют фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений

Определитель системы совпадает с определителем .

Ранг матрицы этой системы равен двум. Поэтому фундаментальная система решений состоит из одного решения. Вычитая второе уравнение из третьего, получаем . Таким образом, является общим решением системы.

Положив, например, х₃ =1, найдем собственный вектор х = (17/8,-2,1).

Проверка: ,

т.е. вектор (17/8, -2, 1) является собственным и отвечает собственному числу .