Министерство образования РФ

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. (ТУСУР)

Контрольная работа №1

По: Высшей математике

Автор методического пособия: Л.И. Магазинников

Вариант №5

Работа зачтена

2003

1. Вычислить определитель:

Решение.

2. Решить матричное уравнение:

Решение.

Вычислим обратную матрицу

3. Относительно канонического базиса в R₃ дано четыре вектора f₁(1, 1, 1), f₂(1, 2, 3), f₃(1, 3, 6), x(4, 7, 10). Доказать, что векторы f₁, f₂, f₃ можно принять за новый базис в R₃. Найти координаты вектора x в базисе f_i.

Решение.

. Следовательно, векторы f₁, f₂, f₃ линейно независимы, и их можно принять за новый базис в R₃.

x=f₁+f₂+f₃

Решим систему по формуле Крамера.

.

.

x=f₁+3f₂. Координаты x в новом базисе (1,3,0).

4. Доказать, что система

имеет единственное решение. Неизвестное x₂ найти по формулам Крамера. Решить систему методом Гаусса.

Решение.

.

Следовательно, система имеет единственное решение.

.

.

.

5. Дана система линейных уравнений

Доказать, что система совместна. Найти ее общее решение. Найти частное решение, если x₄=1.

Решение.

Ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы. По теореме Кронекера-Капелли данная система совместна.

Общее решение системы:

Частное решение: .

6. Составить общее уравнение прямой, проходящей через точку M(1, 4), параллельно прямой 2x+3y+5=0.

Решение.

Векторы нормали у параллельных прямых одинаковые, следовательно, уравнение необходимой нам прямой:

или .

7. Записать общее уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M₁(-6, 1, -5), M₂(7, -2, -1), M₃(10, -7, 1).

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:

.

.

Уравнение плоскости:

.