Контрольная работа 1 / 1- 4_Высшая математика_3

Министерство образования Российской Федерации

Томский государственный университет Систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Контрольная работа № 1

По Высшей математике – 1

Вариант № 4

1. Найти матрицу D = (2BA + 3CA), если

, , .

Решение:

1) ; 2) ;

3).

Ответ: .

2. Вычислите определитель .

Решение: Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

.

Ответ: 108.

3. Решите матричное уравнение .

Решение: Обозначим . Тогда данное уравнение можно записать в виде АХ = В.

Так как ,

то матрица А невырождена, следовательно Х = А^-1В. Находим матрицу А^-1.

Следосательно, ;

Ответ: .

4. При каком значении параметра р ранг матрицы

равен трём?

Решение:

Минор третьего порядка отличен от нуля, следовательно, ранг матрицы не ниже 3. Ранг равен трём в том случае, когда третья и четвёртая строки пропорциональны, т.е. если

Отсюда , следовательно, .

Ответ: .

5. Относительно канонического базиса в R₃ дано четыре вектора f₁(4,2,-1), f₂(5,3,-2), f₃(3,2,-1), x(4,3,-2). Доказать, что векторы f₁,f₂,f₃ можно принять за новый базис в R₃. Найти координаты вектора x в новом базисе.

Решение: Составим матрицу С, записав в её столбцах координаты векторов f₁, f₂, f₃.

. Вычислим определитель этой матрицы.

Находим . Так как , то векторы

f₁, f₂, f₃ линейно независимы, а потому могут быть приняты в качестве базиса в R₃. Матрица С невырождена, а потому имеет обратную С^-1. Найдём её.

Так как , то .

Новые координаты вектора х находим по формуле (1.28)

Ответ: .

6. Доказать, что система

имеет единственное решение.

Неизвестное найти по формулам Крамера. Решить систему методом Гаусса.

Решение: Вычислим определитель системы

.

, поэтому система имеет единственное решение.

Находим определитель (в определителе D четвёртый столбец заменен столбцом свободных чисел).

По формуле Крамера Решим данную систему методом Гаусса. Записываем расширенную матрицу системы и преобразуем её к треугольному виду, действуя только со строками.

Таким образом, данная система эквивалентна системе

из которой легко находим

Ответ: (0, 1, 1, -1).

7. Дана система линейных уравнений

Доказать, что система совместна.

Найти её общее решение. Найти частное решение, если

Решение: Применим к этой системе метод Гаусса.

Ранг основной и расширенной матриц равен 2, следовательно, система совместна. В качестве базисного выберём минор т.е. неизвестные и приняты в качестве зависимых, а - в качестве свободных. Данная система эквивалентна системе.

Выражаем зависимые переменные через свободные:

- общее решение системы. При , находим

Ответ: (4, 1, 1, 1).

8. Дана система линейных однородных уравнений

Докажите, что система имеет нетривиальное решение. Найдите общее решение системы. Найдите какую – нибудь фундаментальную систему решения.

Решение: Исследовать систему будем методом Гаусса. Записываем её матрицу и , действуем только со строками, упрощаем её, не меняя ранга.

Это показывает, что у нас должно быть 2 базисных и 2 свободных переменных.

Выберем базисный минор, например,

в этом случае x₃ и x₄ – базисные переменные, x₁ и x₂ – свободные переменные. Запишем систему (согласно нашему M_б) равносильную исходной.

, или Выражая зависимые переменные через свободные, находим общее решение:

, то фундаментальная система решений содержит 4-2=2 решения (разность между числом неизвестных и ранга). Получаем 2 частных линейно независимых решений,

придавая поочередно свободным неизвестным значения (1, 0), (0, 1): (2, 1, 0, 0)

(-41, 0, 15, 1)- Эти решения образуют фундаментальную систему решений. Любое другое решение является их линейной комбинацией.

9. Найти если

Решение:

Ответ: 91.

10. Дано три вершины параллелограмма Найти длину высоты параллелограмма, опущенной на АВ.

Решение: Известно, что величина равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и b. Поэтому площадь S треугольника АВС равна . Так как СВ = (-2, 4, 0), СА = (-5, 0, 0), то , , . Поскольку , то ;

АВ = {3, 4, 0}, , .

Ответ: 4.

11. Линейный оператор А действует в по закону , где - произвольный вектор. Найти матрицу А этого оператора в каноническом базисе. Доказать, что вектор является собственным для матрицы А. Найти собственное число , соответствующее вектору . Найти другие собственные числа, отличные от . Найти все собственные векторы матрицы А и сделать проверку.

Решение: 1. Так как , ,

, то, записав в столбцы координаты полученных векторов, найдём матрицу А: .

2. Проверим, что вектор х = (1, 8, -1) является собственным матрицы А. Находим .

Так как , то отсюда следует, что вектор х (1, 8, -1) собственный и отвечает собственному число .

3. Чтобы найти все другие собственные числа, составляем характеристическое уравнение

Нам уже известно, что число - корень этого уравнения. Разделив многочлен, таким образом нашли все собственные числа: .

Находим собственный векторы, отвечающие этим собственным числам.

. Собственные векторы, отвечающие этому собственному числу, образуют фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений

Ранг матрицы этой системы равен 2. Поэтому фундаментальная система решений состоит из одного решения. Таким образом является общим решением системы. Положив х=1, найдем собственный вектор х=(-3, -9, 1).

Проверка: , т. е. вектор (3, 9, -1) является собственным и отвечает собственному числу . Совершенно аналогично находим, что собственному числу отвечает собственный вектор (0, 1, 0).