Задача № 9

Дана кривая х² – 4х + 8у = 36.

1. Доказать, что кривая – парабола

2. Найти координаты её вершины

3. Найти значение её параметра р.

4. Записать уравнение её оси симметрии.

5. Построить данную параболу.

Решение:

Задана кривая, имеющая в некоторой правой декартовой системе координат уравнение: х² – 4х + 8у – 36 = 0, где В(х,у) = х² – квадратичная форма.

Записываем матрицу квадратичной формы В:

Определяем тип кривой, для этого составим характеристическое уравнение квадратичной формы.

Находим p и q из уравнения -l + l² = 0, p = -1, а q = 0.

Найдем корни характеристического уравнения матрицы квадратичной формы B по формуле:

Так как одно из собственных чисел равно нулю, то кривая – параболического типа.

Выделяя полный квадрат, получаем:

(x²– 4x - 4) + 8y – 36 + 4 = 0

(x – 2)² + 8y – 32 = 0.

Если положить x₁ = x – 2, y₁ = 8y – 32, то получим x₁² = y₁ .

Сравнивая последнее уравнение с каноническим уравнением параболы, находим, что (x - 2)² = -2·4(y - 4), т.е. p = 4

(x – 2)² = - 8(y – 4) - уравнение параболы

Вершина параболы

z – 2 = 0, x = 2

y – 4 = 0, y = 4

находится в точке (2, 4)

Прямая параллельна ОУ и проходит через точку (2, 4), получили уравнение оси симметрии x = 2

Теперь можно построить данную параболу.

Задача № 10

Дана кривая х² – 8xy + 7y² + 6х - 6у +9 = 0.

1 Доказать, что кривая – гипербола.

2 Найти координаты её центра симметрии.

3 Найти действительную и мнимую полуоси.

4 Записать уравнение её фокальной оси.

5 Построить данную гиперболу.

Решение:

Задана кривая, имеющая в некоторой правой декартовой системе координат уравнение:

x²– 8xy + 7y²+ 6x – 6y + 9 = 0,

где В(х,у) = x² – 8xy + 7y² – квадратичная форма.

Записываем матрицу квадратичной формы В:

В(х,у) =Аx² – 2Вxy + Сy² имеет вид:

Определяем тип кривой, для этого составим характеристическое уравнение матрицы квадратичной формы.

Вычислим p и q:

p = -8; q = -9

Найдем корни характеристического уравнения матрицы квадратичной формы В по формуле:

Так как собственные числа имеют разные знаки, то данное уравнение определяет кривую гиперболического типа. Находим собственные векторы матрицы В. Для собственного числа l₁ = 9 получаем систему

Если положим x₁ = 1, x₂ = -2, то единичный собственный вектор i₁ имеет координаты i₁ = (1, -2). Другой собственный вектор, отвечающий собственному числу l₂ = -1, может быть задан в виде j₁ = (2, 1) таким образом, чтобы базис (i₁,j₁) был правым.

От старого базиса (O, i, j) перейдем к новому базису (O, i₁, j₁).

При этом

В новой системе координат уравнение данной кривой примет следующий вид: Ax₁² + By₁² + Cx₁ + Dy₁ + E = 0,

Подставим данные в уравнение:

Выделяя полные квадраты, приведем уравнение кривой к виду 9(х₁ - х₀)² - (y₁ - y₀)² = F,

,или

Видим, что действительная полуось а = 1, а мнимая b = 3.

Произведем преобразование параллельного переноса системы координат в новое начало О₁ по формулам:

, илиТеперь

В системе координат (О₁, i₁, j₁) гипербола имеет уравнение . Оси О₁x₂ , O₁y₂ направлены по прямым

x - 2y + 1 = 0, 2x + y – 3 = 0. Координаты точки О₁, являются центром симметрии гиперболы, находим, решая систему .

Находим x умножив второе уравнение на 2

.

5x = 5

x = 1

Находим y умножив первое уравнение на -4, а второе уравнение на 2, получим:

10y = 10

y = 10

Координаты точки О₁=(1,1). Фокальной осью является прямая y₂=0, 2x + y – 3 = 0. Для построения гиперболы строим в старой системе новую систему координат, в которой строим данную гиперболу.